Mathématique m1332

Les points d'intersection entre une droite et une conique

Pour trouver le ou les points d'intersection entre une conique et une droite, on utilise la méthode de substitution.Le reste de cette fiche donne des exemples pour le ou les points de rencontre d'une droite avec chacune des coniques.

Les points de rencontre entre une droite et une parabole

Soit les équations suivantes :

|\left\{\begin{matrix}
(x-4)^2=16(y+2)\\
y=3x+4
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation de la parabole par son expression équivalente dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |(3x+4)|.

|\bullet| Ensuite, on rend l'équation égale à zéro :

|(x-4)^{2}=16((3x+4)+2)|
 
|x^{2}-8x+16=16(3x+6)|

|x^{2}-8x+16=48x+96|

|x^{2}-56x-80=0|

|\bullet| On utilise la formule quadratique pour trouver les deux valeurs de |x|, ce qui donne :

|\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2}=\frac{56\pm\sqrt{(-56)^{2} -4(1)(-80)}}{2(1)}|

On obtient |x_1=-1,39| et |x_2=57,39|.

|\bullet| On remplace les deux valeurs de |x| trouvées pour trouver les couples solutions :
|y=3(-1,39)+4| et  |y=3(57,39)+4|.

Les coordonnées des points d'intersection entre la parabole et la droite sont : |(-1,39 ; -0,18)| et |(57,39 ; 176,18)|.

​​

Les points de rencontre entre une droite et une ellipse ou une hyperbole

Que ce soit pour une hyperbole ou pour une ellipse, on utilise la même technique.

Soit les équations suivantes :
| \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x+2)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}{49}=1\\
y=x+1
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation de l'ellipse par son expression équivalente dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |(x+1)|.

|\displaystyle \frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x+1-3)^{2}}{49}=1|

|\displaystyle \frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x-2)^{2}}{49}=1|

|\bullet| On met les fractions sur un dénominateur commun.

|\displaystyle \frac{49(x+2)^{2}}{1764}+\frac{36(x-2)^{2}}{1764}=1|

|\bullet| On rend l'équation égale à zéro.
 
|\displaystyle \frac{49(x+2)^{2}+36(x-2)^{2}}{1764}=1|
 
|\displaystyle 49(x^{2}+4x+4)+36(x^{2}-4x+4)=1764|
 
|49x^{2}+196x+196+36x^{2}-144x+144=1764|
 
|85x^{2}+52x-1424=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de |x|, ce qui donne :

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-52 \pm \sqrt{52^2 -4(85)(-1424)}}{2 (85)}|

On obtient |x_1=-4,4| et  |x_2=3,8|

|\bullet| On remplace les deux valeurs de |x| trouvées pour déterminer les couples solutions :
|y=(-4,4)+1| et |y=(3,8)+1|

Les coordonnées des points d'intersection entre l'ellipse et la droite sont : |(-4,4 ; -3,4)| et |(3,8 ; 4,8)|.

 

Les points de rencontre entre une droite et un cercle

​Soit les équations suivantes :

| \left\{\begin{matrix}
\displaystyle (x-1)^2+(y+2)^2=16\\
y=2x+1
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation du cercle par son équivalent dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |2x+1|.

|\bullet| On rend l'équation égale à zéro.

|(x-1)^2+(2x+1+2)^2=16|

|(x-1)^2+(2x+3)^2=16|

|x^2-2x+1+4x^2+12x+9=16|

|5x^2+10x+10=16|

|5x^2+10x-6=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour déterminer les valeurs de |x|.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 (5)(-6)}}{2(5)}|

On obtient |x_1  = 0,48| et |x_2=-2,48|.

|\bullet| On remplace |x| par les valeurs trouvées précédemment dans l'équation de la droite.

|y=2 (0,48) + 1 = 1,96|
|y=2 (-2,48) + 1 = -3,96|

On a alors les coordonnées des deux points d'intersection entre le cercle et la droite : |(0,48;1,96)| et |(-2,48;-3,96)|.

 

Une droite et une conique peuvent se croiser à un ou deux endroits, ou ne pas se croiser du tout.

Dans l'animation interactive qui suit, on peut sélectionner une conique, puis déplacer le curseur pour voir tous les cas possibles.

Résoudre une équation ou une inéquation de degré 2

La résolution de systèmes d'équations de degré 1 et 2 (semi-linéaires)

Les points d'intersection entre une parabole et une autre conique

Les vidéos
Les exercices
Les références