Mathématique m1360

Les modes de représentation de l'univers des possibles

Il existe divers façons pour représenter l'univers des résultats possibles d'une expérience aléatoire. On peut ainsi mettre en relation des données et classer les éléments d'un ensemble.

L'extension

Lorsqu'on exprime l'univers des possibles en extension, il suffit d'énumérer tous les résultats possibles en accolades. On représente l'univers des possibles par la lettre omega Ω.

On désire exprimer les résultats possibles lorsqu'on lance un dé à six faces. On peut l'exprimer ainsi:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si l'expérience comporte plusieurs étapes, on inclut, entre parenthèses, les différents résultats possibles à chaque étapes.

On désire exprimer les résultats possibles lorsqu'on lance à deux reprises un dé à 4 faces. On peut l'exprimer ainsi:
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

Il y a donc 16 résultats possibles: |4\times 4 = 16|.

On désire exprimer les résultats possibles lorsqu'on lance à trois reprises une pièce de monnaie. On peut l'exprimer ainsi:
Ω = {(P,P,P), (P,P,F), (P,F,P), (P,F,F), (F,P,P), (F,P,F), (F,F,P), (F,F,F)}

Il y a donc 8 résultats possibles: |2\times 2\times 2 = 8|.

Le diagramme de Venn

Le diagramme de Venn permet de représenter des relations entre des ensembles de données. Il permet de représenter l'univers des résultats possibles uniquement lorsque l'expérience aléatoire ne comporte qu'une seule étape.

On veut déterminer les résultats possibles lors du lancer d'un dé à six faces. Le diagramme de Venn ci-dessous représente l'univers des résultats possibles:
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Il y a donc six résultats possibles: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

On ne peut pas représenter une expérience aléatoire à plusieurs étapes avec un diagramme de Venn.

Le tableau à double entrée

Le tableau à double entrée, aussi nommé grille, permet de représenter une expérience aléatoire à deux étapes. Dans ce tableau, les en-têtes de rangée présentent les résultats possibles de la première étape et les en-têtes de colonne présentent les résultats possibles de la seconde étape.

S'il y a plus que deux étapes dans l'expérience, on ne peut pas utiliser le tableau à double entrée.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles lorsqu'on tire une pièce de monnaie à deux reprises. Le tableau ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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Il y a donc 4 résultats possibles: Ω = {(P,P), (F,P), (P,F), (F,F)}.

Dans un sac, il y a 3 billes: une bille rouge, une bille bleue et une bille verte. On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles lorsqu'on tire successivement deux billes du sac.

Si le tirage a lieu avec remise de la première bille pigée, le tableau ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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Il y a donc 9 résultats possibles:
Ω = {(R, R), (B, R), (V, R), (R, B), (B, B), (V, B), (R, V), (B, V), (V, V)}


Si le tirage a lieu sans remise de la première bille pigée, le tableau ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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Il y a donc 6 résultats possibles:
Ω = {(B, R), (V, R), (R, B), (V, B), (R, V), (B, V)}

Le diagramme en arbre

Le diagramme en arbre permet de représenter une expérience aléatoire à deux ou plusieurs étapes. Dans ce diagramme, les résultats possibles de chaque étape sont reliés par des branches.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles pouvant être formées lors du tirage d'une pièce de monnaie à deux reprises. Le diagramme en arbre ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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Il y a donc 4 résultats possibles: |2\times 2 = 4|.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles pouvant être formées par les lettres A, B et C. Une même lettre peut être utilisée plusieurs fois. Le diagramme en arbre ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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Il y a donc 27 résultats possibles: |3\times 3\times 3 = 27|.

Le diagramme sagittal

Dans le diagramme sagittal, les éléments de chaque ensemble sont reliés par des flèches. Le diagramme sagittal représente donc une relation entre des éléments. On y retrouve généralement deux ensembles : un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée. Les éléments qui forment un couple grâce à la relation sont unis par une flèche ou par une droite.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles lorsqu'on pige une bille dans un sac contenant 3 billes de couleurs différentes (vert, orange, mauve) et une pièce de monnaie. Le diagramme sagittal ci-dessous illustre toutes les possibilités.

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On peut aussi écrire les résultats en extension:
Ω = {(V,P), (V,F), (O,P), (O,F), (M,P), (M,F)}

Il y a donc 6 résultats possibles: |3\times 2 = 6|.

Le réseau

Un réseau est un graphique qui illustre toutes les possibilités d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes et qui permet de déterminer le nombre de résultats possibles. Dans un réseau, les arcs correspondent aux résultats possibles de chaque étape de l'expérience.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles lorsqu'on lance un dé à six faces et une pièce de monnaie. Le réseau ci-dessous illustre toutes les possibilités.

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On peut aussi écrire les résultats en extension:
Ω = {(1, P), (1, F), (2, P), (2, F), (3, P), (3, F), (4, P), (4, F), (5, P), (5, F), (6, P), (6, F)}

Il y a donc 12 résultats possibles: |6\times 2 = 12|.

On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles pour un agencement vestimentaire comprenant un chandail, un pantalon et un chapeau. Il y a trois possibilités de chandail (rouge, vert et orange), deux possibilités de pantalon (bleu et noir) et deux possibilités de chapeau (noir et brun). Le réseau ci-dessous illustre toutes les possibilités.
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On peut aussi écrire les résultats en extension:
Ω = {(R, B, N), (R, B, Br), (R, N, N), (R, N, Br), (V, B, N), (V, N, Br), (V, N, N), (V, N, Br), (O, B, N), (O, B, Br), (O, N, N), (O, N, Br)}

Il y a donc 12 résultats possibles: |3\times 2\times 2 = 12|.

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