Mathématique m1371

Le rang centile

​​​​Le rang centile est en lien avec la notion de pourcentage et il permet de comparer les données les unes par rapport aux autres.

​​Un peu comme les quartiles, le rang centile, noté |R_{100}|, est utilisé pour séparer un ensemble de données en 100 parties égales, soit de  |C_1| à |C_{99}|, pour ensuite situer une donnée à l'intérieur d'une de ces séparations.  

Voici un schéma pour illustrer la distribution des données selon le 82e rang centile:

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​En combinant ce schéma avec la définition du rang centile, on peut en tirer la conclusion suivante:

Plus le rang centile est élevé, plus la donnée occupe une position élevée dans la distribution ordonnée dont elle fait partie.

En d'autres mots, le rang centile correspond au pourcentage de données inférieures ou égales à celle étudiée.

Outre l'illustration avec un schéma, on peut également utiliser différentes formules mathématiques pour interpréter le rang centile.

Trouver le rang centile à partir de la définition

Avant même d'appliquer les formules, il faut d'abord maîtriser le concept du rang centile. Pour ce faire, voici quelques exemples qui mettent en application ce concept.

Son interprétation
Si on affirme que Yolande s’est classée au |74^\text{e} R_{100}| pour l'examen d'anglais du Ministère, cela signifie que |74 \%| des notes obtenues par tous les élèves de la province étaient inférieures ou égales à celle de Yolande.

​Calcul du rang centile avec un groupe de 100 personnes
 Si Gérard occupe seul le |3^\text{e}| rang des marqueurs lors d’un tournoi de hockey où il y avait |100| joueurs, alors on peut déduire que |97| joueurs ont obtenu moins de points que lui. En se fiant à la définition du rang centile, on peut dire que Gérard occupe le |98^{\text{e}}| rang centile.

Plus précisément, on doit considérer tous les joueurs qui ont un nombre inférieur de points (97) et tous ceux qui ont un nombre égal de point ( 1 = Gérard lui-même). Ainsi, 97 + 1 = 98.

Maintenant que l'interprétation du rang centile a bien été illustrée, voyons comment on peut dégager une formule qui permettra de le calculer dans une distribution qui contient plus ou moins que 100 données.

Trouver le rang centile à partir de la formule

​Pour arriver à bien saisir la construction de cette formule, il faut garder en mémoire que le rang centile se rapproche beaucoup du concept de pourcentage.

|R_{100} (x) = \frac{\text{Nombre de données inférieures à } x + \frac{\text{Nombre de données égales à } x }{2} }{\text{Nombre total de données}} \times 100|.

Finalement, lorsqu’on obtient un rang centile qui n’est pas entier, on doit l’arrondir à l’entier supérieur sauf lorsque le résultat est de 99​

Pour ce concept, il est possible d'utiliser d'autres formules qui donnent des résultats similaires. Or, la formule présentée ci-dessus a l'avantage d'être plus précise lorsque la distribution contient un grand nombre de données identiques.

​Avec une distribution qui compte moins de 100 données
Dans une classe de 30 élèves, Martin a obtenu la note de 83%, soit la 4e meilleure note du groupe. De plus, il est le seul élève qui a obtenu ce résultat.

Quel est son rang centile?

Selon les informations données, 26 élèves (|30 - 4|) ont un résultat inférieur à 83% et un seul a obtenu exactement 83% (Martin lui-même). Ainsi:

|R_{100} (83) = \frac{26 + \frac{1}{2}}{30} \times 100|.

|R_{100}(83) \approx 88,33|
 
En arrondissant à l’entier supérieur, on peut déduire que Martin se classe au |89^\text{e}| rang centile.

Avec une distribution qui compte plus de 100 données
Sur l’ensemble des joueurs de la région, Gérard arrive au |8^\text{e}| rang des compteurs sur |456|. De plus, il y a |4| autres athlètes qui ont récolté le même nombre de points que Gérard.

Avec ces informations, quel est le rang centile de Gérard?
Ici, le nombre d'athlètes avec un nombr​​e inférieur de points équivaut à 444. Pour t'aider à comprendre d'où vient ce nombre, voici un petit schéma:
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|R_{100} (\text{Gérard}) = \frac{444+ \frac{5}{2} }{456} \times 100|
|R_{100} (\text{Gérard}) \approx 97,91|

Finalement, il faut arrondir à l’entier supérieur. Ainsi,Gérard est au 98e rang centile.

Dans un cas comme dans l'autre, c'est la même formule que l'on utilise. Par contre, il est important de ne jamais oublier d'arrondir à l'entier supérieur lorsqu'on calcule le rang centile associé à une donnée connue. Or, le processus diffère lorsqu'on veut trouver la valeur d'une donnée pour laquelle le rang centile est connu.

Trouver une valeur à partir du rang centile

​Étant donné qu'il y a plus à faire que des opérations inverses et l'utilisation de l'algèbre, il est préférable d'utiliser la formule suivante.

|\text{Rang dans la distribution} = \frac{\text{son rang centile}}{100} \times \text{nombre total de données}|
 
Si la donnée obtenue n’est pas un nombre entier, alors on arrondit à l'entier inférieur.

Pour bien illustrer le tout, voici un exemple.

Voici les meilleurs résultats d’une course de |80 \text{m}| chez |250| athlètes en devenir:
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À la lumière de ce tableau, quelle donnée occupe le 27e rang centile ?

|\text{Rang dans la distribution} =\frac{27}{100}\times 250 =67,5|

En arrondissant à l'entier inférieur, on détermine que la donnée qui occupe le 27e rang centile est en fait la 67e donnée de la distribution ordonnée.

Attention! Il est important ici de considérer le contexte du problème. Puisqu'il s'agit d'une course, les données inférieures représentent les coureurs ayant pris le plus de temps. Il faut donc déterminer le rang centile à partir du plus long temps vers le plus court, et non l'inverse.

Selon le tableau des résultats, la |67^\text{e}| donnée est |9,9 \ \text{sec}| . Donc, un rang centile de |27| correspond à un résultat de |9,9 \ \text{sec}|.

​Pour identifier le rang précis d'une donnée dans une distribution à données condensées, on procède sensiblement de la même façon que lorsqu'on veut en trouver la médiane​.

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