Mathématique m1372

La cote standard (cote Z)

Tout comme le rang cinquième et le rang centile, cette cote est souvent utilisée dans le système scolaire dans le but de quantifier la qualité du dossier scolaire d'un élève. Étant donnée sa complexité, la cote |Z| peut être utilisée dans différents contextes.

​La cote |Z|, aussi appelée cote standard, est une mesure de position d’un objet par rapport à la moyenne du groupe. Concrètement, cette mesure donne la distance entre une donnée et la moyenne en nombre d'écarts types​​.

En prenant en considération qu'il y a plusieurs concepts qui sont présents dans la définition même de la cote standard, la formule qui lui est associée paraît plus imposante.

|Z=\frac{x_{i}- \text{moyenne de la distribution}}{\text{écart type de la distribution}}​|

Dans cette formule, |x_i| est la valeur de la donnée pour laquelle on veut calculer la cote |Z|.

En d'autres mots, pour déterminer une cote |Z|, il faut d'abord déterminer la moyenne et l’écart type de l’ensemble. Ensuite, on utilise la formule appropriée pour déterminer la valeur de la cote |Z|. Peu importe la situation, on peut catégoriser les résultats dans trois groupes:​

  • Si la valeur |x_i| est supérieure à la moyenne, le numérateur de l’équation sera positif et la cote |Z| sera nécessairement positive puisque l'écart type sera positif.
  • Si la valeur |x_i| est inférieure à la moyenne, le numérateur de l’équation sera négatif. Dans ce cas, la cote |Z| sera négative.
  • Si la valeur |x_i| est égale à la moyenne, elle aura un écart à la moyenne qui sera nul. Pour cette raison, une donnée ayant la même valeur que la moyenne a une cote |Z = 0|.​

​​​Tout comme les autres formules en mathématique, il peut arriver qu'on utilise la formule pour en calculer le résultat, pour comparer des résultats ou pour trouver une donnée manquante. 

Calcul de la cote |Z|
Dans le groupe de mathématiques de Samuel, la moyenne à l’examen de la deuxième étape est de |75 \%| et l’écart type est égal à |7\%|.

Si Samuel a obtenu 82%, alors quelle est la cote |Z| associée à son résultat?

Dans ce cas, toutes les valeurs nécessaires au calcul sont connues. Ainsi, il ne reste qu'à les remplacer dans la formule pour ensuite effectuer le calcul :

|Z=\frac{82-75}{7}=1|.

La cote |Z| associée au résultat de Samuel est égale à |1|.

De façon générale, il est inutile de calculer la cote standard simplement pour un élève. Il ne faut pas perdre de vue que l'utilité principale de la cote |Z| est de qualifier le dossier scolaire des élèves pour pouvoir faire un choix éclairé selon les circonstances. 

Comparaison de résultats
Catherine et Gabriel sont deux élèves qui sont en 3e secondaire, mais ils fréquentent des écoles différentes et font des examens qui sont différents. 

En ce qui concerne Catherine, elle a obtenu |77 \%| comme note finale alors que la moyenne de son groupe est de |65 \%| et l’écart type est de |6\%|.

En sachant que Gabriel a terminé l'année avec une note de |80\%| et que sa cote |Z| est de |1,23|, détermine qui a le mieux réussi entre Catherine et Gabriel?

Puisqu'ils ont fait leurs évaluations dans un contexte différent et avec un enseignant différent, il est plus approprié d'utliser la cote standard pour comparer leur réussite.

Dans le cas de Catherine, l’écart type et la moyenne sont connus. Ainsi, on peut calculer directement sa cote |Z|:

|Z=\frac{77-65}{6} = 2|

Même si Gabriel a obtenu une meilleure note finale, on peut conclure que c'est Catherine qui a le mieux réussi puisque sa cote |Z| est supérieure à celle de Gabriel.

Lorsque vient le temps de qualifier la réussite des élèves, il est important de considérer tous les différents facteurs (composition de la classe, exigences de l'enseignant, exigences de l'école, etc.). En calculant la cote |Z| avec la moyenne et l'écart type, on relativise le rôle de ces variables et la comparaison devient plus juste.

Déterminer un résultat
Maxime a fait un examen dont la moyenne est de |75 \%| et l'écart type de |7\%|). En sachant que la cote |Z| associée à son résultat est de |–1|, quelle note a-t-il obtenue?

Toutes les données sont connues, sauf le résultat de Maxime. Donc, il suffit de remplacer ces valeurs dans l’équation pour ensuite isoler la valeur manquante.

|-1=\frac{x_{i}-75}{7}|
|-7 = x_i - 75|
|68 = x_i|

Ainsi, ​Maxime a obtenu |68 \%| à l’examen.

​En réalité, cette cote |Z| joue un rôle important pour accéder à divers programmes d'études post-secondaires. Par exemple, afin de s'assurer de former les meilleurs policiers, seuls les élèves ayant une cote standard supérieur à 2 pourraient être admis dans le programme. 

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