Mathématique m1478

Le périmètre et l'aire des figures planes

​​​​​​​Lorsque l'on analyse une figure plane, on peut obtenir plusieurs informations. Que ce soit pour trouver la mesure de ses côtés ou la surface qu'elle occupe dans un plan, on peut se référer à différentes formules. Cependant, il faut préalablement s'assurer de bien distinguer les notions de périmètre et d'aire. 

Périmètre vs aire

​Par définition, les figures planes sont formées d'une ligne brisée et fermée. Par ailleurs, il est possible de calculer la mesure de cette ligne brisée qui forme le contour de la figure.

Le périmètre est la mesure de la ligne qui délimite une figure plane. On exprime le périmètre à l'aide d'unités de mesure à une dimension (cm, m, etc.).

En d'autres mots, le périmètre s'obtient en calculant la mesure de la ligne qui forme le contour de la figure plane, comme dans le cas où on voudrait installer une clôture.

m1478i30.PNG

Pour déterminer la longueur totale de clôture qu'on aurait besoin pour ce terrain, il faudrait déterminer la longueur de la |\color{red}{\text{ligne brisée}}| qui forme le contour de celui-ci. 

​​Malgré sa définition assez générale, le terme périmètre n'est pas utilisé pour l'ensemble des figures planes.

Lorsque l'on fait référence au périmètre d'un cercle, on utilisera plutôt le terme circonférence.

Toutefois, si l'on s'intéresse à la mesure faisant référence à la surface occupée par la figure, on utilisera un autre terme que celui de périmètre.

​​L'aire (ou superficie)​ correspond à la mesure de la surface délimitée par une figure plane. On exprime l'aire à l'aide d'unités de mesure à deux dimensions |(cm^2, m^2, etc.)|,

Toujours en faisant référence à un terrain, son prix varie souvent en fonction de l'espace totale disponible.

m1478i21.png

Pour déterminer la valeur de ce terrain, il faudrait déterminer sa superficie, soit la mesure qui correspond à l'espace à l'intérieur de la |\color{red}{\text{ligne brisée}}| qui forme les limites de cette figure. 

​Que ce soit pour calculer la mesure du périmètre ou de l'aire, on peut utiliser différentes formules.​

Tableau résumé des formules de périmètre et d'aire

Figure plane Exemple Périmètre Aire
Triangle m1478i22.png |P=\color{green}{a}+\color{red}{b}+\color{blue}{c}|
|A=\frac{\color{red}{b} \cdot \color{fuchsia}{h}}{2}|

|\color{red}{b}=| mesure de la base
|\color{fuchsia}{h}=| mesure de la hauteur
Carré m1478i23.png |\begin{align*}
P &= c + c + c + c \\
&= 4 \cdot c
\end{align*}|
|A=c \cdot c=c^{2}|

|c =| mesure d'un côté
Rectangle m1478i24.png |\begin{align*}
P &= \color{red}{b} + \color{red}{b}+ h + h \\
&= 2\color{red}{b} + 2h \\
&= 2(\color{red}{b}+h)
\end{align*}|

|A=\color{red}{b}\cdot  h|

|\color{red}{b} =| mesure de la base
|h=| mesure de la hauteur
Parallélogramme m1478i28.png |\begin{align*}
P &= \color{red}{a+a}+\color{blue}{b+b} \\
&= 2\color{red}{a} +2\color{blue}{b}\\
&= 2(\color{red}{a} +\color{blue}{b})
\end{align*}|

|A=\color{red}{a}\cdot  \color{green}{h}|

|\color{red}{a}=|mesure de la base
|h=| mesure de la hauteur
Losange m1478i26.png |\begin{align*}
P &= \color{red}{c + c + c + c} \\
&= 4 \color{red}{c}
\end{align*}|
|A=\frac{\color{green}{D}\cdot \color{blue}{d}}{2}|

|\color{green}{D}=| mesure de la grande diagonale
|\color{blue}{d}=| mesure de la petite diagonale
Trapèze m1478i27.png |P= \color{orange}{b}+\color{green}{a} + \color{red}{B} + \color{blue}{c}|
|A=\frac{(\color{orange}{b}+\color{red}{B})\cdot h}{2}|

|\color{orange}{b}=| mesure de la petite base
|\color{red}{B}=| mesure de la grande base
|h = |mesure de la hauteur
Polygone régulier |P = n \cdot c|
|A=\frac{c\cdot  a\cdot  n}{2}|

|c=| mesure d’un côté
|a=|mesure de l'apothème
|n=| nombre de côtés
Cercle |C = 2 \cdot \pi \cdot r|
|A=\pi r^{2}|

|r=| mesure du rayon
|\pi \approx 3,14159…|
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