Mathématique m1506

L'écart moyen

​​​​Étant légèrement plus longue à calculer, cette mesure de dispersion donne néanmoins une idée très juste quant à la dispersion de chacune des données en prenant la moyenne comme point de référence.

L’écart moyen, habituellement noté |EM|, est défini comme la moyenne des écarts à la moyenne des valeurs de la distribution. 

Mathématiquement parlant, on peut résumer l'écart moyen avec la formule suivante:

|EM= \frac{\sum|x_{i}-\overline{x}|}{n}|

|\sum| signifie qu’il faut effectuer une somme de plusieurs éléments.

|x_i| représente la |i^\text{e}| valeur de la distribution. Plus précisément dans ce cas, |x_i| représente chacune des valeurs de la distribution.

|\overline{x}| représente la moyenne de l’échantillon (on utiliserait le symbole |\mu| si nous avions la moyenne d'une population).

|n| représente la taille de l’échantillon ou de la population.

Note : Un écart doit toujours être positif et c'est la raison pour laquelle on utilise la valeur absolue.

Afin de simplifier la compréhension de cette équation, on va analyser comment l'utiliser concrètement.

Calculer l’écart moyen de la distribution suivante en n'oubliant pas que les valeurs sont en degrés Celcius.
-5, -4, -4, -3, -3, -2, -1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12.

1) Déterminer la taille de la distribution.

Dans cet exemple, elle contient 24 données.


2) Calculer la moyenne de la distribution. (|\overline{x}| ou |\mu|).

En se fiant à la formule de la moyenne, on obtient un résultat d'environ |3,29^\circ \text{C}|.


3) Calculer tous les écarts à la moyenne.

Pour chacune des données de la distribution, il faut déterminer le nombre d'unités qui la sépare de la moyenne. De plus, il ne faut pas oublier de considérer la valeur absolue pour calculer un écart.

|x_{i}|||\mid x_{i}-\overline{x}\mid|||x_{i}|||\mid x_{i}-\overline{x}\mid||
|-5||\mid (-5) - 3,29\mid =8,29||3||\mid 3 - 3,29 \mid =0,29|
|-4||\mid(-4) - 3,29\mid = 7,29||4||\mid4 - 3,29\mid = 0,71|
|-4||7,29||4||0,71|
|-3||6,29||6||2,71|
|-3||6,29||7||3,71|
|-2||5,29||8||4,71|
|-1||4,29||9||5,71|
|0||3,29||10||6,71|
|0||3,29||10||6,71|
|1||2,29||11||7,71|
|2||1,29||11||7,71|
|3||0,29||12||8,71|


4) Calculer l'écart moyen.

Pour calculer l’écart moyen, il reste à faire la somme de tous les écarts et de la diviser par le nombre total de données.​ Bref, il reste à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.

|x_{i}|Écarts|x_{i}|Écarts
-58,2930,29
-47,294 0,71
-47,2940,71
-36,2962,71
-36,2973,71
-25,2984,71
-14,2995,71
03,29106,71
03,29106,71
12,29117,71
21,29117,71
30,29128,71
​​somme​55,48​56,10


|EM = \frac{55,48 + 56,20}{24} \approx 4,65^\circ \text{C}|.

L'écart​ moyen de cette distribution est d'environ 4,65 degrés Celcius.

Dans ce cas, puisque l'écart moyen est relativement faible par rapport à la valeur des différentes données, on peut considérer que les données de la distribution sont condensées​​ et non dispersées.

Finalement, on aurait pu appliquer le même genre de démarche si les données avaient été condensées ou regroupées en classes​. Dans ce cas, il faut porter une attention particulière au calcul de la moyenne.

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