Mathématique m1513

Aire et volume de solides décomposables convexes

​​​​​​​​Il est généralement facile de calculer l'aire totale ou le volume d'un solide simple (prisme, pyramide, cylindre, cône ou sphère) puisqu'il existe des formules d'aire et de volume pour chacun d'eux. Toutefois, à l'instar d'un empilement de blocs de formes variées, il arrive qu'un solide ne possède pas une forme régulièr​e.

Aire d'un solide décomposable convexe

Même s'il est question d'un solide, la démarche est plus facile à suivre si on le décompose selon les différents types de figures qu'on y retrouve. Ainsi, il suffit de calculer l'aire de chacune des faces selon leur formule d'aire respective et d'additionner le tout. 

Puisque ces solides sont plus complexes, il ne sera plus question d'aire des bases et d'aire latérale, mais simplement d'aire totale du solide.

Quelle est l'aire totale d'un cube de 2 cm de côté surmonté d'une pyramide dont l'apothème mesure 2,24 cm?


1) Identifier les faces concernées
Dans le cas présent, il faut considérer |\color{blue}{\text{les quatre triangles}}| qui forment les faces latérales de la pyramide, |\color{red}{\text{les quatre carrés}}| qui forment les faces latérales du cube et le carré qui forme la base du cube.

2) Appliquer les formules appropriées
||\begin{align*}
A_\text{totale} &= 4 \cdot \color{blue}{\text{triangles}}+ 4 \cdot \color{red}{\text{carrés}}+ 1 \text{carré}\\
&= 4 \cdot \color{blue}{\frac{b\cdot h}{2}} + 4 \cdot \color{red}{c^2}\\
&= 4 \cdot \color{blue}{\frac{2 \cdot 2.24}{2}} + 4 \cdot \color{red}{2^2} + 2^2\\
&= \color{blue}{8.96} + \color{red}{16} + 4\\
&= 28,96 \ cm^2
\end{align*}||
3) Interpréter la réponse
L'aire totale de ce solide est de |28,96\ \text{cm}^2|.

Outre certaines faces qui disparaissent dans la construction du solide, il faut également porter une attention particulière à la priorité des opérations. En effet, il y a beaucoup d'opérations qui sont impliquées dans la démarche. Alors, il faut s'assurer de procéder de façon méthodique afin de ne rien oublier.

Par contre, les solides peuvent être superposés de telle sorte que seulement une partie de leur surface disparaisse.

Quelle est l'aire de ce solide?
 

1) Identifier les faces concernées
Pour ce solide, il y a cinq carrés complets et le rectangle qui forme la face latérale du cylindre qui sont faciles à identifier. De plus, quand on associe la base visible du cylindre avec le carré incomplet auquel le cylindre est collé, on obtient un carré de même dimension que les cinq autres.
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2) Appliquer les formules appropriées
Puisque les carrés bleu et rouge sont isométriques, il suffit de calculer l'aire de six carrés et d'un rectangle.
||\begin{align} A &= 6 \cdot \color{blue}{c}^2 + 1 \cdot (\color{green}{b} \cdot h)\\
&= 6 \cdot \color{blue}{20}^2 + 1 \cdot (\color{green}{2 \cdot \pi \cdot (15 \div 2)} \cdot 25)\\
&\approx \color{blue}{2400} + 1178,1\\
&\approx 3578,1 \ \text{mm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
L'aire de ce solide décomposable est d'environ |3578,1 \ \text{mm}^2|

En procédant de cette façon, les inconnus seront plus faciles à identifier lorsque l'on voudra trouver une mesure manquante d'un solide décomposable selon son aire​.

Volume d'un solide décomposable convexe

En ce qui concerne le volume de ce genre de solide, il est préférable de le décomposer afin d'identifier chacun des solides qui le composent. Par la suite, on calcule le volume de chacun d'eux selon leur formule respective pour finalement en faire le total.

Quel est le volume de ce solide?
1) Identifier la nature des solides
Dans le cas étudié, il s'agit d'un |\color{blue}{\text{cube}}| et d'un |\color{red}{\text{cylindre}}|.

2) Appliquer les formules
||\begin{align} V &= \color{blue}{V_\text{cube}} + \color{red}{V_\text{cylindre}}\\
&= \color{blue}{c^3} + \color{red}{A_b \cdot h}\\
&= \color{blue}{20^3​} + \color{red}{\pi \cdot (15 \div 2)^2 \cdot 25}\\
&\approx \color{blue}{8000} + \color{red}{4417,86}\\
&\approx 12 \ 418 \ \text{mm}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Le solide a un volume de |12 \ 418 \ \text{mm}^3|.

Généralement, on utilisera l'addition pour calculer le volume des solides décomposables. Par contre, si on veut trouver le volume d'un solide tronqué​, on utilisera davantage la soustraction.

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