Mathématique m1524

Aide-mémoire - Cinquième secondaire - SN

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Voici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en cinquième secondaire dans la séquence SN. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. 

​​Arithmétique

Propriétés des exposants

​Voici les lois et les propriétés des exposants qui seront utiles pour la suite de cette section:
1) |\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m|

2) |a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|

3) |a^m \cdot a^n = a ^{m+n}|

4) |\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}|

5) |(ab)^m = a^m b^m|

6) |\left(\displaystyle \frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}|

7) |(a^m)^n = a^{m \cdot n}|

8) |a^0=1|


​​ ​EXEMPLE​​​
​ ​Simplifie au maximum l'expression suivante:
​|\displaystyle \frac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}|
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{=}\displaystyle \frac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}|

|= \displaystyle \frac{(3^3 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{(3^{3})^{\frac{1}{3}}a^3}|​​
​Mettre les coefficients sur la même base, si possible.
|\color{white}{=} \displaystyle \frac{\sqrt{3^3 a^3 b}}{3^1 a^3}|​

|= \displaystyle \frac{\sqrt{\color{blue}{3^2} \cdot 3^1 \cdot \color{red}{a^2}\cdot a^1 \cdot b}}{3^1 a^3}|

|= \displaystyle  \frac{\color{blue}{3} \cdot \color{red}{a} \sqrt{3ab}}{3 a^3}|

|= \displaystyle ​\frac{\sqrt{3ab}}{a^2}|
​Utiliser les lois et les propriétés des exposants pour simplifier le plus possible.
​ ​L'expression s​implifiée est |\displaystyle \frac{\sqrt{3ab}}{a^2}|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

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​ ​

Propriétés des radica​ux

De façon générale, c'est la loi sur la multiplication des radicaux qui est utilisée pour effectuer la factorisation (|\sqrt { a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|). Pour y arriver, on doit:
1) décomposer le radicande en un produit de facteurs dont un est un nombre carré
2) transformer la racine d'un produit en un produit de racines (|\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|)
3) calculer la racine du nombre carré

​ ​EXEMPLE
​ ​Quel​le est la valeur simplifiée de la racine suivante:
|\displaystyle \sqrt{45}|
​CALCULS​EXPL​ICATIONS
​|\sqrt{45} = \sqrt{\color{blue}{9} \cdot 5}|​Factoriser le radicande avec un nombre carré.
​|\sqrt {\color{blue}{9} \cdot 5}|
|= \sqrt{\color{blue}{9}} \cdot \sqrt {5}|
​Utiliser la loi du produit des radicaux |\rightarrow  \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|.
​|\sqrt {\color{blue}{9}} \cdot \sqrt {5}|
| = \color{blue}{3} \cdot \sqrt {5}|
​Calculer les racines carrées.
​ ​Ainsi, |\sqrt{45} = 3  \sqrt{5}|.​

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​ ​

Propriétés des logarithmes

Voici les lois des logarithmes qu'il est important de maîtriser:
1) |\log_c(M \cdot N) = \log_c M + \log_c N|

2) |\log_{c}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{c}M-log_{c}N|

3) |\log_{\frac{_{1}}{c}}M=-\log_{c}M|

4) |\log_c M^n = n \log_c M|

5) |\log_a b = \displaystyle \frac{\log_c b}{\log_c a}|


EXEMPLE​
​En utilisant les lois des logarithmes, simplifie l'expression suivante:
|(log_4 3x^2 + log_4 4y - log_4 4x)^4|​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{=}(\color{blue}{log_4 3x^2 + log_4 4y} - log_4 6x)^4|​
|=(\color{blue}{log_4 (3x^2 \cdot 4y)} - log_4 6x)^4|​
|=(\color{red}{log_4 12x^2y - log_4 6x})^4|​​​
|=(\color{red}{log_4 \left(\frac{12x^2y}{6x}\right)})^4|​​​​​
|=4 log_4 2xy|​​
​Utiliser les lois des logarithmes avec ceux qui ont la même base.
​ ​Alors, l'expression simplifiée est |4 log_4 2xy|.​​


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Propriétés des valeurs absolues

​​

Voici un bref aperçu des propriétés des valeurs absolues qu'il est important de garder en mémoire:
- Par définition, |\mid x \mid = max\{-x, x\}|
- |\mid a \mid = \mid -a \mid|
- |\mid a \cdot b \mid = \mid a \mid \cdot \mid b \mid|
- |\displaystyle \mid\frac{a}{b}\mid = \frac{\mid a \mid}{\mid b \mid}|​​

​​ ​EXEMPLE
​Factorise l'expression algébrique suivante:
|\mid -4x+8 \mid |
sous la forme |a \mid x \pm h \mid|.
​CALC​ULS​JUSTIFICATIONS
​|\mid -4x+8 \mid = \mid -4(x-2) \mid|​Faire une mise en évidence simple pour que le coefficient de |x = 1|.
​|\color{white}{\mid -4x+8 \mid} = \mid -4 \mid \cdot \mid x-2 \mid|​Utiliser la propriété en relation avec la multiplication de valeur absolue.
​|\color{white}{\mid -4x+5 \mid} = 4 \cdot \mid x-2 \mid|​Calculer la valeur de |\mid -4 \mid|.
​ ​ ​​ ​Ainsi, l'expression factorisée est | 4 \cdot \mid x-2 \mid|.
​ ​

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​ ​

Algèbre

Résoudre une équation exponentielle

|f(x) = a c ^{bx} + k|
où |b = | fréquence de capitalisation,
|k = | asymptote et
| c = 1 \pm| pourcentage de variation en nombre décimal.


​​​ ​EXEMPLE​
​​Lorsqu'un placement est fait dans une institution bancaire, son rendement est généralement évalué selon une fonction exponentielle. Par contre, pour bénéficier de certains taux qui sont plus avantageux, une somme minimale d'investissement est requise.

Ainsi, après combien d'années un investissement initial de 5 000 $ capitalisé aux 2 ans à un taux d'intérêt de 5 % dont l'investissement minimal requis est de 3 000$ rapporte-il au moins 8 000 $ ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​Investissement minimal requis| = 3000 \$ \Rightarrow 3000 = k|​Trouver la valeur du paramètre |k|.
​| c = 1 \pm 5 \%|
|\color{white}{c} = 1 + 0,05|
|\color{white}{c} = 1,05|

|\Rightarrow f(x) = a \cdot 1,05^{bx}+ 3000|
​Trouver la valeur du paramètre |c|.
​Capitalisé aux deux ans | \Rightarrow b = \displaystyle \frac{1}{2}|
Ainsi, |f(x) = a \cdot 1,05^{\frac{1}{2}x}+ 3000|
​Trouver la valeur du paramètre |b| en fonction du contexte.
​|\color{white}{\Rightarrow}5000 = a \cdot 1,05^{\frac{1}{2}\cdot 0}+3000|
|\Rightarrow 5000 = a \cdot 1 + 3000|
|\color{white}{\Rightarrow}2000 = a|
​Remplacer |(x,y)| par la valeur initiale donnée |(0,5000)|.
​|\color{white}{\Rightarrow}8000 = 2000 \cdot 1,05^{\frac{1}{2}x}+3000|
|\Rightarrow 2,5 = 1,05^{\frac{1}{2}x}|
|\Rightarrow log_{1,05}2,5 = \frac{1}{2}x|
|\color{white}{\Rightarrow} 18,78 \approx \frac{1}{2}x|
|\color{white}{\Rightarrow}37,56 = x|
​Remplacer |f(x)| par 8 000 $.
​​ ​La somme investie rapportera au moins 8000$ après 37,56 années.


​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​​

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​ ​

Résoudre une équation logarithmique

|f(x) = a log_c (b(x-h))|
où  le zéro de fonction |= \displaystyle \frac{1}{b} + h| et |h = | l'asymptote


​​ ​EXEMPLE​
​Selon la fonction suivante:
m1525i37.PNG
quelle sera la valeur de l'abscisse si l'ordonnée vaut 3 ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|h = 3|​Trouver la valeur du |h| selon l'asymptote verticale.
​|\color{blue}{\text{zéro de fonction}} = \displaystyle \frac{1}{b} + h|

|\Rightarrow \color{blue}{\displaystyle \frac{13}{4}}= \displaystyle \frac{1}{b} + 3|

|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{1}{4} = ​\frac{1}{b}|

|\color{white}{\Rightarrow} b = 4|
​Utiliser le zéro de fonction pour trouver la valeur du paramètre |b| selon : zéro de fonction | = \displaystyle \frac{1}{b} + h|. 
​|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{1,79} = lob_c(4(\color{red}{6}-3))|
|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{1,79} = log_c(12)|
|\Rightarrow c^{1,79} = 12|
|\color{white}{\Rightarrow}c = 4|
Ainsi, |f(x) = \log_4(4(x-3))|
​Trouver la valeur du paramètre |c| en utilisant les coordonnées d'un autre point |\color{red}{(6 ; 1,79)}|
​|\color{white}{\Rightarrow} 3 = \log_4(4(x-3))|
|\Rightarrow 4^3 = 4(x-3)|
|\color{white}{\Rightarrow} 19 = x|
​Remplacer |f(x)| par 3.
Quand |y= 3, x = 19|.


​​

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.



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Résoudre une équation racine carrée

|f(x) = a \sqrt{b(x-h)} + k|
où |(h,k) = | coordonnée du sommet, 
|b = | généralement |\pm 1| et
les signes de |a| et |b| dépendent de l'orientation de la courbe.


​​ ​EXEMPLE​
En tant qu'ornithologue amateur, tu observes un oiseau prendre son envol à partir d'une branche qui est à trois mètres du sol. Par ailleurs, sa trajectoire suit le model suivant:
m1525i04.PNG 
Sachant qu'il est toujours possible d'observer l'oiseau alors qu'il est à une altitude de 50 m, quelle sera la distance horizontale qui te séparera de l'oiseau à ce moment précis ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|f(x) = \pm a \sqrt{\pm 1(x-h)} + k|​Déterminer le modèle à utiliser.
​|\color{white}{\Rightarrow}f(x) = a \sqrt{1(x-h)} + k|
|\Rightarrow f(x) = a \sqrt{x-h} + k|
​Déterminer le signe de |a| et de |b| selon l'orientation du graphique (les deux sont positifs).
​|\color{white}{\Rightarrow}  \color{green}{8} = a \sqrt{\color{green}{12} - h} + 3|
|\Rightarrow 25 = a^2 (\color{green}{12}- h)|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow} \frac{25}{\color{green}{12}-h}=a^2|
​|\color{white}{\Rightarrow}|
|\color{red}{10,5} = a \sqrt{\color{red}{17} - h} + 3|
|\Rightarrow 56,25 = a^2 (\color{red}{17}- h)|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow} \frac{56,25}{\color{red}{17}-h} = a^2​|
​Créer deux équations avec les points fournis.
​|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{56,25}{17 - h} = \frac{25}{12-h}|
|\Rightarrow 56,25 \cdot (12-h) = 25 \cdot (17-h)|
|\color{white}{\Rightarrow} 675 - 56,25h = 425 - 25h|
|\color{white}{\Rightarrow} 250 = 31,25h|
|\color{white}{\Rightarrow} 8 = h|​
​Comparer les deux valeurs de |a^2|.
​|\color{white}{\Rightarrow}f(x) = a \sqrt{x-8} + 3|
|\Rightarrow \color{green}{8}= a \sqrt{\color{green}{12} - 8} + 3|
|\color{white}{\Rightarrow} \color{green}{8} = a \cdot 2 + 3|
|\color{white}{\Rightarrow} 2,5 = a|
​Utiliser un des points pour trouver la valeur de |a|.
​​|\color{white}{\Rightarrow} f(x) = 2,5 \sqrt{x-8} + 3|
|\Rightarrow 50 = 2,5 \sqrt{x-8}+3|
|\color{white}{\Rightarrow}18,8 = \sqrt{x-8}|
|\color{white}{\Rightarrow}353,44 = x-8|
|\color{white}{\Rightarrow} 361,44 = x|
Remplacer |f(x)| par |50| puisque c'est l'altitude à laquelle l'oiseau est rendu.
​​ ​L'oiseau se trouvera à une distance horizontale de |361,44| mètres.​​


​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.



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Résoudre une équation rationnelle

Sous sa forme canonique: |f(x) = \displaystyle \frac{a}{b(x-h)} + k|

Sous sa forme de quotient: ​|f(x) = \displaystyle \frac{ax+b}{cx​+d}|


​​ ​EXEMPLE​
Selon les informations disponibles dans le graphique, détermie la coordonnée complète du point |\color{red}{B}|.
m1525i43.PNG
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{green}{h = 4}|
|\color{fuchsia}{k=3}|
​Déterminer les valeurs de |(h,k)| selon |h=| asymptote verticale et |k=|asymptote horizontale.
​|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle f(x) = \frac{a}{x-\color{green}{h}}+\color{fuchsia}{k}|

|\color{white}{-}\Rightarrow \displaystyle \color{blue}{\frac{9}{4}} = \frac{a}{\color{blue}{6}-\color{green}{4}}+\color{fuchsia}{3}|​

|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle -\frac{3}{4} = \displaystyle \frac{a}{2}|

|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle -\frac{3}{2} = a|
​Trouver la valeur du paramètre |a| en utilisant la coordonnée du point |\color{blue}{A(6, \frac{9}{4})}|.
|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \color{red}{4} = -\frac{3}{2(\color{red}{x}-\color{green}{4})}+\color{fuchsia}{3}|​​

|\Rightarrow \displaystyle 1 = -\frac{3}{2(\color{red}{x}-\color{green}{4})}|​​

|\color{white}{\Rightarrow} 1 \cdot 2(\color{red}{x}-\color{green}{4}) = -3|

|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{x = \displaystyle \frac{5}{2}}|
​Remplacer |f(x)| par la valeur en |y| du point |\color{red}{B}| et isoler le |x|.
​​​La coordonnée du point |\color{red}{B}| est |\color{red}{(\displaystyle \frac{5}{2} , 4)}|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.


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Résoudre une équation valeur absolue

​|f(x) = a \cdot \mid x - h \mid + k|
avec |(h,k) =| coordonnée du sommet et
|\pm a =| pente de chacune des droites formant le graphique de la fonction.

​​ ​EXEMPLE
​Quelles sont les valeurs de l'abscisse de la fonction suivante si son ordonnée vaut -5 ?
m1524i09.PNG
​CALC​ULS​JUSTIFICATIONS
​|a_1=\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\color{green}{(-0,95)}-\color{red}{2,55}}{\color{green}{(-1)} - \color{red}{(-2)}}|
|\color{white}{a=\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}} = -3,5|
|\Rightarrow y = -3,5 x + b_1|
|\color{white}{\Rightarrow} \color{red}{2,55} = -3,5 \cdot \color{red}{(-2)} + b_1|
|\color{white}{\Rightarrow} -4,45 = b_1|
Ainsi, |\color{fuchsia}{y = -3,5x - 4,45}|.
​Trouver l'équation d'une première branche sous la forme |\color{fuchsia}{y = a_1x + b_1}|.
​|\color{white}{\Rightarrow}y = 3,5x + b_2|
|\Rightarrow \color{blue}{1,15} = 3,5 \cdot \color{blue}{(-3)} + b_2|
|\color{white}{\Rightarrow} 11,65 = b_2|
Ainsi, |\color{orange}{ y = 3,5x + 11,65}|. 
​Déduire l'équation de la deuxième branche sous la forme |\color{orange}{y=a_2x + b_2}| avec |a_2 = | l'opposé de |a_1|.
​|\color{fuchsia}{-3,5x - 4,45} = \color{orange}{3,5x+11,65}|
|\Rightarrow -16,1 = 7x|
|\color{white}{\Rightarrow}-2,3 = x| 
|\color{white}{\Rightarrow}\color{fuchsia}{y = -3,5x -4,45}|
|\Rightarrow \color{fuchsia}{y = -3,5}\cdot (-2,3) \color{fuchsia}{- 4,45}|
|\color{white}{\Rightarrow} y = 3,6|
​Déterminer, par comparaison, le point d'intersection des deux droites correspondant au sommet |(h,k)| de la fonction.
​|\color{white}{\Rightarrow}f(x) = a \mid x-h\mid + k|
|\Rightarrow f(x) = -3,5 \mid x - (-2,3)\mid + 3,6|
​Puisque le graphique est ouvert vers le bas, le |a| de l'équation de la fonction valeur absolue sera négatif.
|\color{white}{\Rightarrow} -5 = -3,5 \mid x+2,3 \mid +3,6|​
|\color{white}{\Rightarrow}2,46 \approx \mid x+2,3\mid|
Selon la définition de la valeur absolue, on obtient:
|\color{blue}{2,46} \approx x_1+2,3| et |\color{red}{-2,46} \approx x_2 +2,3|
|\color{blue}{0,16} \approx x_1| et |\color{red}{-4,76} \approx x_2|
​Remplacer |f(x)| par la valeur donnée, soit |-5|.
Ainsi, les valeurs de |x| quand |y=-5| sont |\color{blue}{0,16}| et |\color{red}{-4,76}|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.


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​ ​

Résoudre une équation trigonométrique de degré 1

En fonction de la situation, on peut choisir parmi trois modèles de fonctions trigonométriques:
|f(x) = a \cos (b (x-h)) + k|
|g(x) = a \sin(b (x-h)) + k|
|h(x) = a \tan(b (x-h)) + k|


​​ ​EXEMPLE​
​Pour divertir ton chien, tu décides d'aller jouer dehors avec lui à son jeu favori, soit «rapporte la ba-balle». Te situant maintenant à 10 mètres de la maison, tu t'assures de toujours lancer la «ba-balle» 30 mètres plus loin. De plus, tu as remarqué qu'à cette distance, ton chien met 12 secondes pour aller la chercher et te la rapporter. Bien entendu, tu relances la balle aussitôt qu'il te la rapporte et ce, pendant cinq minutes. 

Par contre, ton chien n'est pas parfaitement dressé. Ainsi, tu as peur qu'il s'enfuit quand il se trouve à plus de 30 mètres de la maison. En tenant compte de ces informations, pendant combien de temps durant ce jeu as-tu peur que ton chien s'enfuit ?​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
m1525i02.PNG​Modéliser la situation.
​|f(x) = a \cos (b (x-h)) + k| 
| (h,k) = (0, \frac{40+10}{2}) = (0, 25)|
|\mid a \mid = \frac{40-10}{2} = 15 \rightarrow a = ​-15| car |(h,k)| est un minimum.
| b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}|
|\Rightarrow f(x) = -15 \cos (\frac{\pi}{6}x) + 25|
​Trouver l'équation de cette fonction.
​|\Rightarrow 30 = -15 \cos (\frac{\pi}{6}x) + 25|
|\color{white}{\Rightarrow} -\frac{1}{3} = \cos(\frac{\pi}{6}x)|
Puisque |\cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right) \approx 1,911|, alors:
|1,911 = \frac{\pi}{6}x_1| et |2\pi - 1,911 = \frac{\pi}{6}x_2|
|\Rightarrow 3,65 \approx x_1| et |8,35 \approx x_2|
​Remplacer |f(x)| par 30 afin de déterminer l'intervalle de temps où le chien est à plus de 30 mètres de la maison.
Ainsi, un intervalle est d'une longueur |= 8,35 - 3,65 = 4,7| secondes. Par ailleurs, il y a un total de 25 intervalles (|5 \ \text{min} \div 12 \ \text{sec} = 300 \ \text{sec} \div 12|). Finalement, tu auras peur que ton chien pendant total de |25 \times 4,7 = 117,5 \ \text{sec}|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

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Résoudre une équation trigonométrique de degré 2

Avant de résoudre ce genre d'équations, il est important de les
simplifier
au maximum à l'aide des différentes identités trigonométriques.


​​ ​EXEMPLE
​​Quelles sont les valeurs de |x| qui satisfont l'équation suivante:
|3 \sin^2x + \sec x - 0,48 = \displaystyle \frac{1}{\cos x}|
​CALC​ULS​JUSTIFICATIONS
​|\displaystyle \color{white}{0} \frac{1}{\cos x} = 3 \sin^2x + \sec x - 0,48|
​|\color{white}{0}\sec x = 3 \sin^2x + \sec x - 0,48|
|\color{white}{\sec x} 0 = 3 \sin^2x - 0,48|
​Utiliser l'identité de base
|\displaystyle \frac{1}{\cos x} = \sec x|
|\color{white}{\sec x} 0 = 3 (\sin^2x - 0,16)|​​Faire une simple mise en évidence.
​|\color{white}{\sec x} 0 = 3 (\sin x - 0,4)(\sin x + 0,4)|
​|\color{white}{\sec x} 0 = \color{green}{(\sin x - 0,4)} \color{red}{(\sin x + 0,4)}|
​Factoriser par différence de carré.
​|\color{green}{\sin x -0,4} = 0| ou |\color{red}{\sin x +0,4} = 0|
|\color{green}{\sin x = 0,4}| ou |\color{red}{\sin x = -0,4}|
|\color{green}{x \approx 0,41 \ rad}| ou |\color{red}{x \approx -0,41 \ rad}|
​Trouver les deux valeurs de |x| possibles.
​​ ​Ainsi, les valeurs qui respectent l'égalité sont |x = \{\color{green}{0,41}+ 2\pi n ; \color{red}{-0,41}+ 2 \pi n\}| avec |n \in \mathbb{Z}|.


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​ ​​

​Opérations sur les fonctions

Pour effectuer les opérations sur les fonctions, on utilise les mêmes concepts que ceux abordés pour la simplification d'expressions algébriques:

Addition et soustraction 
Sur les coefficients des termes semblables

Multiplication et division 
Sur les coefficients de tous les termes et en respectant les lois des exposants


​​ ​EXEMPLE​
​Pour certains investisseurs, spéculer sur les diverses valeurs boursières à la bourse est une vraie passion. Pour essayer de prédire les valeurs des différentes actions et les profits potentiels, ces gens utilisent différents graphiques pour ensuite les associer à des modèles mathématiques. Pour l'étude d'une certains compagnie étrangère, on peut utiliser les fonctions suivantes pour modéliser les différentes variables qui influencent le rendement final de chaque action:

Nb d'actions sur le marché: |f(x) = 10x - 500|
Profit d'une action: |g(x) = -x^2+160x - 6400|
Nombre d'actionnaires : ​|h(x)= -2x^2 + 260x - 8000|
avec |x =| nombre d'années écoulées depuis sa création

Quelle fonction pourrait-on utiliser pour déterminer le profit moyen obtenu par chaque actionnaire?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\text{Profit moyen}​ = \displaystyle  \frac{\color{red}{\text{Nb d'actions}} \cdot \color{green}{\text{son profi}t}}{\color{blue}{\text{Nb d'actionnaires}}}|
|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{f(x)} \cdot \color{green}{g(x)}}{\color{blue}{h(x)}}|
​Créer une équation qui répond à la question.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{(10x-500)} \cdot \color{green}{(-x^2+160x-6400)}}{\color{blue}{-2x^2+260x-8000}}​|​Remplacer chaque élément par la fonction qui la modélise.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{10 \cdot (x-50)} \cdot \color{green}{-(x-80) \cdot (x-80)}}{\color{blue}{-2\cdot (x-50) \cdot (x-80) }}​|​Puisqu'il n'y a que des multiplications et des divisions, on factorise chacune des fonctions.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{-10 \cdot (x-50) \cdot (x-80) \cdot (x-80)}{-2\cdot (x-50) \cdot (x-80) }​​​​|
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = 5 \cdot  (x-80)|​
​Simplifier.
​​ ​​Avec les informations disponibles présentement, le​​ profit moyen est représenté par la fonction |i(x) = 5 \cdot (x-80)|.


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​ ​

Composition de fonctions

La composition de fonction se note | g \circ f = g(f(x))| et |g \circ f| se lit « g rond f ».


​​ ​EXEMPLE​
​Afin d'établir leur budget pour la prochaine année, le comité d'administration d'Allô prof s'est penché sur les coûts de production des fiches de la bibliothèque virtuelle. Pour ce faire, ils ont utilisé deux fonctions:
fonction f: |t = \displaystyle \frac{5}{4} \cdot n| 
fonction g: | s = 124t + 2000|
avec |n = | nombre de fiches produites, |t=| le nombre d'heures travaillées et |s = | salaire (en $) à verser aux employés.

​Modélise cette situation à l'aide d'une seule fonction pour ensuite déterminer le nombre total de fiches qu'il serait possible de produire avec un budget de 13 625$.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​| s = g \circ f|
|\color{white}{s} = \color{red}{g(}\color{blue}{f(n)}\color{red}{)}|
|\color{white}{s} = \color{red}{124}\color{blue}{(\frac{5}{4} \cdot n)} \color{red}{+ 2000}|
|s = 155 \cdot n + 2000|
​Modéliser la situation à l'aide de la composition de fonctions.
​|\color{white}{75}13 \ 625 = 155 \cdot n + 2000|
|\color{white}{13 \ 625}75 = n|
​Remplacer |s| par 13 625 et isoler |n|.
​ ​​Avec 13 625 $, il serait possible de produire un total de 75 nouvelles fiches.​


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Optimisation

Généralement, on pourra résoudre un problème d'optimisation en suivant les étapes suivantes:
1) identifier les variables et les inconnus
2) déterminer l'équation de la fonction à optimiser
3) créer le système d'inéquations
4) tracer le polygone de contrainte
5) déterminer la coordonnée de chacun des sommets de ce polygone
6) déterminer la coordonnée du point qui optimise la fonction


​​ ​​EXEMPLE
​​Afin de maximiser les profits de son entreprise, un directeur général tient à savoir combien de vestons et de chemises il doit vendre à chaque semaine. Dû à certaines contraintes de production, il sait que le nombre maximal de chemises correspond au retranchement du quadruple de vestons à 21. À cause du transport, le nombre de vestons doit être plus grand ou égal à la différence entre 8 et le triple du nombre de chemises. Finalement, le reste entre le triple du nombre de vestons et le double du nombre de chemises doit être d'au moins deux

En sachant que chaque veston vendu rapporte un profit de 32$ et que celui associé à la vente d'une chemise est de 17$, quel est le profit maximal hebdomadaire qu'il peut espérer obtenir? 
​CALC​ULS​​EXPLICATIONS
​|x =| nombre de vestons
|y =| nombre de chemises
​Identifier les variables. L'association du |x| et du |y| se fait généralement de façon aléatoire.
​|Z = 32x + 17y|​Trouver la fonction à optimiser.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{x \ge 8 - 3y}|
|\color{red}{3x - 2y \ge 2}|
|x \ge 0| et |y \ge 0|
​Créer le système d'inéquations sans oublier les contraintes de non-négativité.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{y \ge -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}}|
|\color{red}{y \le \frac{3}{2}x - 1}|
​Isoler le |y| dans chacune des inéquations afin de les écrire sous la forme fonctionnelle.
m1522i03.PNG​Tracer les droites-frontières de chacune des inéquations dans un plan cartésien.
m1522i02.PNG​Trouver le polygone de contraintes qui respecte toutes les inéquations.
m1522i01.PNG​Trouver les coordonnées de chacun des sommets en utilisant la méthode de comparaison, de substitution ou de réduction. 
​Selon le point  |A (4,5)|, 
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (4) + 17 \cdot (5) = 213|
Selon le point |B (5,1)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (5) + 17 \cdot (1) = 177|
Selon le point |C (2,2)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (2) + 17 \cdot (2) = 98|
​Calculer le profit pour chacun des points en utilisant la fonction à optimiser
​​​ ​Pour maximiser ses profits, le directeur devrait vendre 4 vestons et 5 chemises pour un profit maximal de 213 $. 

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Géométrie

Mesure en radians vs mesure en degrés

Un angle d'une mesure d'un radian correspond à l'angle au centre formé par un arc de cercle dont la mesure est équivalente au rayon.
m1525i05.PNG
Par ailleurs, on peut utiliser la proportion suivante pour transformer une mesure en degrés vers une mesure en radians et vice versa:
|\displaystyle \frac{\text{mesure de l'angle en degrés}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|


​​ ​EXEMPLE​
​Si un angle mesure |\color{red}{227^\circ}|, quelle sera sa mesure en radians?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle \frac{\text{mesure de l'angle en degrés}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|
|\Rightarrow \displaystyle \frac{\color{red}{227^\circ}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|​​
​Utiliser la proportion identifiée plus haut.
​|\Rightarrow \color{red}{227^\circ} \cdot \pi \div 180^\circ = \text{mesure de l'angle en radians}|
|\color{white}{\Rightarrow 227^\circ \cdot \pi}3,96 \ rad = \text{mesure de l'angle en radians}|
​Résoudre en utilisant le produit croisé.
​ ​L'angle au centre mesure |3,96 \ rad|.​


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Démonstrations à l'aide des identités trigonométriques

Les identités trigonométriques de base
|\tan \theta = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}|     |\cot \theta = \displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta}|
|\csc \theta = \displaystyle \frac{1}{\sin ​​\theta}|    |\sec \theta = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta}|

Les identités pythagoriciennes
|\sin ^2 + \cos ^2 = 1|
|1 + \cot ^2 = \csc ^2|
|\tan ^2 + 1 = \sec ^2|

​​ ​EXEMPLE​
​ ​Démontrer l'égalité suivante:
​|\sec \theta - \cos \theta = \tan \theta \sin \theta|
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\displaystyle \sec \theta - \cos \theta =​ \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta|​​Transformer les termes en |\sin \theta| et |\cos \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\cos ^2 \theta}{\cos \theta}|
|\displaystyle \color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ = \frac{1 - \cos ^2 \theta}{\cos \theta}|
​Trouver un dénominateur commun pour effectuer la soustraction.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =​ \displaystyle \frac{\sin ^2 \theta}{\cos \theta}|​Utiliser |\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =\displaystyle ​ \frac{\color{blue}{\sin \theta} \cdot \sin \theta}{\color{blue}{\cos \theta}}​|​Décomposer |\sin ^2 \theta = \sin \theta \cdot \sin \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =\color{blue}{\tan \theta} \cdot \sin \theta|
​Utiliser |\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta|.
​L'identité est vérifiée puisqu'on obtient ce qui était indiqué au départ.​


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Propriétés des vecteurs

Pour bien saisir les notions associées au concept des vecteurs, il est important de bien maîtriser le vocabulaire suivant:
- Orientation d'un vecteur: Est représentée par un sens (flèche) et par une direction (inclinaison associée à une mesure en degrés).
-Direction d'un vecteur: Est toujours calculée selon l'axe des abscisses positifs en allant dans le sens anti-horaire.
- Norme d'un vecteur:​ Fait référence à la longueur du vecteur que l'on peut obtenir par des rapports trigonométriques ou par la relation de Pythagore.
- Travail effectué: Est associé à l'effort effectué pour déplacer une masse quelconque. Pour sa part, il est généralement mesuré en Joules.


​​ ​EXEMPLE​
​Dans un plan cartésien, dessine |\color{red}{\overrightarrow u} = (-3, 8)| pour ensuite déterminer sa norme et sa direction .
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
m1525i32.PNG​Utiliser les composantes du vecteur en partant de l'origine du plan cartésien.​
m1525i33.PNG​Tracer un triangle rectangle pour en déduire la norme:
|\mid\mid \color{red}{\overrightarrow u \mid \mid} = \sqrt{\color{blue}{3}^2 + \color{green}{8}^2}|
|\color{white}{\mid\mid \overrightarrow u \mid \mid} \approx 8,54|.
m1525i34.PNG​Utiliser les rapports trigonométriques pour trouver la mesure de l'angle associée à la direction de |\color{red}{\overrightarrow u}|
|\text{direction de}\ \color{red}{\overrightarrow u} = \color{orange}{m \ \angle ABC}|
|\color{white}{\text{direction de} \ \overrightarrow u} = 180^\circ - \color{fuchsia}{m \ \angle DBC} |
|\color{white}{\text{direction de} \ \overrightarrow u} = 180^\circ - \tan^{-1} \left(\frac{\color{green}{8}}{\color{blue}{3}}\right)|
|\color{white}{\text{direction de}\ \overrightarrow u} \approx 180^\circ - 69 ^\circ|
|\color{white}{\text{direction de}\ \overrightarrow u} \approx 111^\circ|
​Ainsi, |\color{red}{\mid \mid  \overrightarrow u \mid \mid} \approx 8,54| et son orientation est d'environ |111^\circ|.  


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Opérations sur les vecteurs

Pour s'y retrouver dans les différentes opérations sur les vecteurs, il est important de bien définir les notions suivantes:

L'addition et la soustraction
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} + \color{blue}{\overrightarrow v} = (\color{blue}{a} + \color{red}{c}, \color{blue}{b}+ \color{red}{d}) |

La multiplication d'un vecteur par un scalaire
Si |\overrightarrow u = (\color{blue}{a}, \color{red}{b})| et |k| un scalaire, alors |k \overrightarrow u = (k \cdot \color{blue}{a}, k \cdot \color{red}{b})|

Le produit scalaire
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} \times \color{red}{\overrightarrow v} =  \color{blue}{a}\color{red}{c}+ \color{blue}{b}\color{red}{d}|

La combinaison linéaire de deux vecteurs
Soit |\color{blue}{\overrightarrow u}| et |\color{red}{\overrightarrow v}|​, alors il est possible d'obtenir |\color{green}{\overrightarrow w​}| selon une combinaison linéaire telle que |\color{green}{\overrightarrow w} = k_1 \color{blue}{\overrightarrow u} + k_2 \color{red}{\overrightarrow v}| avec |\{k_1,k_2\} \in \mathbb{R}|.


​​ ​EXEMPLE​
​ ​Détermine les valeurs des scalaires|\{k_1,k_2\}| telles que |\color{blue}{\overrightarrow w = (4,-12)}| soit le résultat d'une combinaison linéaire de |\color{red}{\overrightarrow u = (-1,4)}| et |\color{green}{\overrightarrow v = (2,5)}|​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{blue}{\overrightarrow w} = k_1 \color{red}{\overrightarrow u} + k_2 \color{green}{\overrightarrow v}|

|\Rightarrow \color{blue}{4} = k_1 \cdot \color{red}{(-1)} + k_2 \cdot \color{green}{2}|
|\color{white}{\Rightarrow}\color{blue}{-12} = k_1 \cdot \color{red}{4} + k_2 \cdot \color{green}{5}|
​Créer deux équations à l'aide de la définition de la combinaison linéaire, soit une pour la composante en |x| et l'autre pour la composante en |y|.
​|\Rightarrow \color{blue}{-16} = \color{red}{4}k_1 ​-\color{green}{8}k_2|
|\color{white}{\Rightarrow}\color{blue}{-12} =\color{red}{4}k_1 +\color{green}{5}k_2|

|\Rightarrow -4 = -13k_2|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow}\color{fuchsia}{\frac{4}{13} = k_2}|

|\Rightarrow \color{blue}{-12} =\color{red}{4}k_1 +\color{green}{5}(\color{fuchsia}{\frac{4}{13}})|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow}\color{orange}{-\frac{44}{13} = k_1}|
​Résoudre le système d'équations par la méthode de réduction en multipliant la première équation par -4.
​Ainsi, |\color{blue}{\overrightarrow w} = \color{orange}{-\frac{44}{13}}\color{red}{\overrightarrow u} + \color{fuchsia}{\frac{4}{13}}\color{green}{\overrightarrow v}|.


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Mise en contexte des vecteurs

Pour résoudre ce genre de mise en situation, il est important de bien maîtriser les diverses démarches associées aux opérations sur les vecteurs ainsi que les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles. Par la suite, on peut généralement suivre les étapes suivantes:
1) Illustrer la mise en situation
2) Placer les données aux bons endroits sur l'illustration
3) Trouver les mesures manquantes à l'aide de la relation de Pythagore ou des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. 


​​ ​EXEMPLE​
​Après une violente tempête, un arbre est tombé sur la route qui mène au chalet de Julien. Pour libérer le passage, il attache une corde à sa base afin de le tirer hors du chemin. 
​​​m1525i35.PNG
Ainsi, quel travail devra effectuer Julien pour le déplacer sur une distance de 12 m s'il déploie une force de |150 \ N| et que la corde qu'il utilise forme un angle de |21^\circ| par rapport à l'horizontal tout en négligeant la force de frottement ?​ ​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|W = \color{red}{150}\cos \color{blue}{21^\circ} \times \color{green}{12}|
|\color{white}{W} \approx 1680 \ J| 
​Utiliser la formule pour calculer le travail:
|W = \color{red}{F}\cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}|
​ ​​Julien devra effectuer un travail de |1680 \ J|.


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Démonstration avec les relations de Chasles

​​

1) |-\overrightarrow {\color{green}{A}\color{red}{B}} = \overrightarrow{\color{red}{B}\color{green}{A}}|
2) |\overrightarrow{\color{green}{A}\color{red}{B}} + \overrightarrow {\color{red}{B}\color{blue}{C}} = \overrightarrow {\color{green}{A}\color{blue}{C}}|​

​​ ​EXEMPLE
​Démontrer que:
|(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow {FG} +\overrightarrow{GE} + \overrightarrow {ED}) = \overrightarrow {BF}|
​CALC​ULS​JUSTIFICATIONS
| \overrightarrow {BF}= (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow {FG} +\overrightarrow{GE} + \overrightarrow {ED})|
|\color{white}{\overrightarrow{BF}} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CA}) - (\overrightarrow {FG} +\overrightarrow{GE} + \overrightarrow {ED})|​
​Utiliser la relation 1) ​sur |-\overrightarrow{AC}| de la première parenthèse.
​|\color{white}{\overrightarrow{BF}} = (\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow {FD})|​​Utiliser la relation 2) dans chacune des parenthèses.
​|\color{white}{\overrightarrow{BF}} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow {DF}|​​​Utiliser la relation 1) sur la deuxième parenthèse et |\overrightarrow{AA}| disparaît, car |\overrightarrow{AA} = \overrightarrow 0|.
​​|\color{white}{\overrightarrow{BF}} = \overrightarrow{BF}|​​​Utiliser la relation 2) sur les vecteurs restants.

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​ ​

Géométrie analytique

Coordonnée d'un point de partage

Soit |(x, y)| la coordonnée du point de partage recherchée,

| x = x_1 + \frac{a}{b} \cdot (x_2 - x_1)|

|y = y_1 + \frac{a}{b} \cdot (y_2 - y_1)|

avec |(x_1, y_1)| comme coordonnée du début du segment, |(x_2, y_2)| comme coordonnée de fin du segment et |\frac{a}{b} = | fraction en lien avec le partage du segment.

​​ ​EXEMPLE
​À chaque matin, tu dois te rendre à l'arrêt d'autobus pour attendre ton moyen de transport qui te reconduit à ton école. Afin que l'arrêt soit centralisé pour les autres élèves du coin, tu as remarqué qu'il partageait le segment de rue qui rejoint ta maison à ton école dans un rapport 1 : 4. 
m1510i52.PNG
En utilisant les informations disponibles, détermine la coordonnée de l'endroit où se situe ton arrêt d'autobus. 
​CALC​ULS​EXPLICATIONS
​Maison|= (\color{blue}{x_1}, \color{red}{y_1}) = (\color{blue}{4}, \color{red}{2})|
École | = (\color{green}{x_2}, y_2) = ( \color{green}{4,1 }; 1,9)|
​Identifier le point de départ et le point d'arrivée. 
​|1 : 4 = \displaystyle \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}|​Trouver la fraction |\frac{a}{b}| associée au rapport.
​|x = \color{blue}{x_1} + \frac{a}{b} \cdot (\color{green}{x_2} - \color{blue}{x_1})|
|\Rightarrow x = \color{blue}{4} + \frac{1}{5} \cdot (\color{green}{4,1} - \color{blue}{4})|
|\Rightarrow x = 4,02|
​Substituer les valeurs dans la formule et résoudre l'équation pour trouver la coordonnée en |x| du point de partage.
​|y = \color{red}{y_1} + \frac{a}{b} \cdot (y_2 - \color{red}{y_1})|
|\Rightarrow y = \color{red}{2} + \frac{1}{5} \cdot (1,9 - \color{red}{2})​|
|\Rightarrow y = 1,98|​
Substituer les valeurs dans la formule et résoudre l'équation pour trouver la coordonnée en |y| du point de partage.​
​ ​Ainsi, la coordonnée du point de partage |(x, y)| est |(4,02 ; 1,98)|.


Il est important de bien différencier les deux types de notations utilisées pour illustrer la portion associée à un point de partage pour ensuite utiliser la notation appropriée à la formule:

un rapport | = a:b \Rightarrow \displaystyle \frac{a}{a+b} = | une fraction


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Les coniques centrées à l'origine

Le cercle:| x^2 + y^2 = r^2|
m1524i03.PNG


​​ ​EXEMPLE​: LE CERCLE
​Pour son premier voyage de pêche, Gitane se sert d'un sonar pour localiser ses potentielles prises. Par contre, elle s'interroge sur la portée de son sonar. En fonction des informations présentées sur le dessin ci-dessous, détermine la superficie, en |\text{km}^2|, couverte par son radar.
m1524i01.PNG
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{white}{\Rightarrow}r^2 = \color{green}{x}^2 + \color{green}{y}^2|
|\color{white}{\Rightarrow r^2}=\color{green}{2,35}^2 + \color{green}{6,59}^2|​
|\color{white}{\Rightarrow r^2} \approx 48,95|
|\Rightarrow r\color{white}{^2} \approx 6,99|
​Utiliser un point pour trouver la valeur du rayon.
​​​​​Puisque le rayon mesure 6,99 km, alors la superficie |= \pi \cdot 6,99^2 \approx 153,42 \ \text{km}|.​​


L'ellipse: |\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1​|
Quand |\color{green}{b}>\color{red}{a}|
​​m1524i10.PNG
|\overline{\color{fuchsia}{F_1}P} + \overline{\color{fuchsia}{F_2}P} = 2\color{green}{b}|
|\color{red}{a^2}+\color{orange}{c^2} = \color{green}{b^2}|

Quand |\color{red}{a}>\color{green}{b}|
m1524i12.PNG
|\overline{\color{fuchsia}{F_1}P} + \overline{\color{fuchsia}{F_2}P} = 2\color{red}{a}|
|\color{green}{b^2}+\color{orange}{c^2} = \color{red}{a^2}|


​​ ​EXEMPLE​: L'ELLIPSE
​Ayant adoré sa première expérience de pêche, Gitane décide de se procurer un magnifique canoe. Par contre, elle doit déterminer les dimensions exactes de ce dernier afin de s'assurer qu'elle pourra le transporter sur sa voiture. Pour l'aider, elle l'a dessiné dans un plan cartésien pour en obtenir les informations suivantes:​
m1524i06.PNG
À l'aide de ces informations, détermine la longueur et la largeur maximales du canoe.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|m\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}} = \sqrt{(\color{fuchsia}{0} - \color{blue}{0,47})^2 + (\color{fuchsia}{(-1,8)} - \color{blue}{(-1,2)})^2}|
|\color{white}{m\overline{F_1P}} \approx \sqrt {0,58}|
|\color{white}{m\overline{F_1P}} \approx 0,76|​
​|m\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}} = \sqrt{(\color{red}{0} - \color{blue}{0,47})^2 + (\color{red}{1,8} - \color{blue}{(-1,2)})^2}|
|\color{white}{m\overline{F_2P}} \approx \sqrt {9,22}|
|\color{white}{m\overline{F_2P}} \approx 3,04|
​Trouver |m\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}}| et |m\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}}|.
​|2a =| somme de la distance entre les foyers et un point
|2a = 0,76 + 3,04|
|\color{white}{2a} = 3,8|
|\color{white}{2}a = 1,9|
​Utiliser la définition de l'ellipse pour trouver la mesure de l'axe le plus long.​
​|\color{white}{\Rightarrow} 1 =\displaystyle \frac{\color{blue}{x}^2}{a^2} + \frac{\color{blue}{y}^2}{b^2}|
|\Rightarrow \displaystyle 1 =\frac{\color{blue}{(-1,2)}^2}{1,9^2} + \frac{\color{blue}{0,47}^2}{b^2}|
|\color{white}{\Rightarrow} 1 =\displaystyle \frac{1,44}{3,61} + \frac{0,22}{b^2}|
|\color{white}{\Rightarrow} b^2 \approx \displaystyle \frac{0,22}{0,60}|
|\color{white}{\Rightarrow} b \approx  0,61|
​Remplacer |\color{blue}{(x,y)}| par un point situé sur l'ellipse.
Ainsi, le canoe a une longueur maximale| = 2a = 2 \cdot 1,9 = 3,8| m et une largeur maximale| = 2b = 2 \cdot 0,61 = 1,22| m.


L'hyperbole ver​ticale : |\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1|
​​​​​​m1524i13.PNG
|\mid m \overline{F_1\color{orange}{P}} - m \overline{F_2\color{orange}{P}}\mid = \color{fuchsia}{2b}|
|\color{red}{a^2}+\color{fuchsia}{b^2}= \color{green}{c^2}|

L'hyperbole horizontale: |\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1 |
​​​​ m1524i14.PNG
|\mid m \overline{F_1\color{orange}{P}} - m \overline{F_2\color{orange}{P}}\mid = \color{red}{2a}|
|\color{red}{a^2}+\color{fuchsia}{b^2}= \color{green}{c^2}|

​Peu importe l'orientation de l'hyperbole, le taux de variation des asymptotes (- - - ) équivaut à |\displaystyle \pm \frac{\color{fuchsia}{b}}{\color{red}{a}}|.​


​​ ​EXEMPLE​: L'HYPERBOLE
​​​​Finalement, Gitane décide de se rendre sur un cours d'eau un peu plus achalandé. À son grand malheur, elle constate qu'elle se fait dépasser par deux bateaux simultanément. Afin d'éviter de chavirer, elle doit déplacer son embarcation du point de rencontre des deux houles formées par les ​​bateaux. Il est possible de représenter la situation de la façon suivante:
m1524i07.PNG
À l'aide de ces données, détermine l'équation associée au modèle mathématique qui permettra à Gitane de mieux orienter sa navigation.​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|1 =\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}|​Déterminer l'allure de l'équation de l'hyperbole selon son orientation.
|y = \displaystyle - \frac{\sqrt{113}}{6}|
|\Rightarrow a = 6, b=\sqrt{113}|
​Utiliser l'équation des asymptotes pour trouver la valeur des paramètres |a| et |b|.
L'équation qui définit l'hyperbole des houles qui vont se rencontrer est 
|\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{113} = 1|

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​ ​ ​

Les coniques déphasées - la parabole

La parabole verticale:  |(x-h)^2 = \pm 4 \cdot c \cdot (y-k)|
m1525i08.PNG
La parabole horizontale: |(y-k)^2 = \pm 4 \cdot c \cdot (x-h)|
m1525i09.PNG


​​ ​EX​EMPLE​: LA PARABOLE
​​Pour avoir une idée de la grosseur du poisson, Gitane a remarqué qu'elle peut se fier à la courbure de sa canne à pêche au moment où le poisson mord à l'hameçon. En utilisant son sonar acheté précédement, elle peut déduire les informations suivantes:
m1525i15.PNG 
Étant de forme parabolique, Gitane s'interroge sur l'équation qu'il est possible d'utiliser pour modéliser cette situation.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|d(\color{red}{F}, \color{blue}{S}) = \color{blue}{y_2} - \color{red}{y_1}|
|\color{white}{d(F,S)} = \color{blue}{2,8} - \color{red}{1,3}|
|\color{white}{d(F,S)} = \color{green}{1,5}|
​Calculer la distance entre |\color{red}{F}| et |\color{blue}{S}|.
​|(x-\color{blue}{h})^2 = -4 \cdot \color{green}{c} (y-\color{blue}{k})|Déterminer le modèle adéquat de l'équation de la parabole.
|\color{green}{c} = \color{blue}{2,8} - \color{red}{1,3}|
|\color{white }{c} = \color{green}{1,5}|
​Calculer la valeur du paramètre |\color{green}{c}|
​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -4 \cdot \color{green}{1,5}(y- \color{blue}{2,8})| ​Remplacer les paramètres par leur valeur respective.
​​ ​​Finalement, Gitane peut modéliser cette situation par l'équation ​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -6\cdot (y- \color{blue}{2,8})|.​


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​ ​ ​ ​

Intersection entre une droite et une conique

Il s'agit en fait de résoudre un système d'équations en utilisant généralement la méthode de substitution.


​​​ ​EXEMPLE​
​ ​Un peu tânée de la pêche, Gitane décide de se payer un voyage dans une région où il est possible d'aller faire du bateau avec des requins aux allures préhistoriques tels des dinosaures de mer. Avec l'eau qui est pratiquement claire, elle peut les voir nager sans problème. Par contre, elle les perd de vue lorsqu'ils passent sous l'embarcation​.
m1524i08.PNG 
En prenant pour acquis qu'ils nagent en ligne droite à une vitesse de 5 m/sec, détermine pendant combien de temps les requins sont sous le navire.

​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{red}{1 = \displaystyle \frac{x^2}{196} + \frac{y^2}{25} }|
|\color{blue}{y = \displaystyle \frac{2}{5}x - 1}​|
​Déterminer les équations de la conique et de la droite.
​​|\displaystyle \color{red}{1 =\frac{x^2}{196}} + \frac{(\color{blue}{\frac{2}{5}x - 1})^2}{\color{red}{25}}|
​Substituer le |\color{red}{y}| dans l'équation de l'ellipse par le |\color{blue}{y}| de la fonction linéaire.
​|\displaystyle \color{white}{49000}1 = \frac{x^2}{196}+\frac{0,16x^2-0,8x+1}{25}|

|\color{white}{10}4900 = 25x^2 +31,36x^2 - 156,8x + 196|
|\color{white}{49001}0 = 56,36x^2 - 156,8x - 4704|

|\displaystyle \Rightarrow \{\color{fuchsia}{x_1}, \color{green}{x_2}\} =\frac{-(-156,8)\pm \sqrt{(-156,8)^2 - 4 \cdot 56,36 \cdot (-4704)}}{2\cdot 56,36}|

|\color{fuchsia}{x_1 \approx -7,85}| et |\color{green}{x_2 \approx 10,63}|
​Résoudre l'équation pour trouver les valeurs de |\color{fuchsia}{x_1}| et |\color{green}{x_2}|.
​|\displaystyle \color{fuchsia}{y_1} = \color{blue}{ \frac{2}{5}} \cdot \color{fuchsia}{(-7,85)} \color{blue}{-1}|
|\color{white}{y_1} \approx \color{fuchsia}{-4,14}|

|\displaystyle \color{green}{y_2} = \color{blue}{ \frac{2}{5}} \cdot \color{green}{10,63} \color{blue}{-1}|
|\color{white}{y_2} \approx \color{green}{3,25}|​
​Calculer les valeurs de |\color{fuchsia}{y_1}| et |\color{green}{y_2}|.
​|d(\color{fuchsia}{A}, \color{green}{B}) = \sqrt{(\color{green}{3,25} - \color{fuchsia}{(-4,14)})^2 + (\color{green}{10,63} - \color{fuchsia}{(-7,85)})^2}|
|\color{white}{d(A,B)} \approx 19,90 \ \text{m}|
​Calculer la distance entre |\color{fuchsia}{A (-7,85 ; -4,14)}| et |\color{green}{B(10,63 ; 3,25)}|.
​|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{5 \ \text{m}}{19,90 \ \text{m}} = \frac{1 \ \text{sec}}{? \ \text{sec}}|

|\Rightarrow ? = 1 \cdot 19,90 \div 5|
|\color{white}{\Rightarrow ?} \approx 3,98 \ \text{sec}|
​Déterminer le temps que le requin passe sous le bateau.
​​ ​​Le requin sera resté sous le bateau pendant environ 3,98 secondes.


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Intersection entr​e deux coniques

​​​

Pour y arriver, on peut généralement se fier aux étapes suivantes:

1) Trouver l'équation de chacune des coniques

2) Résoudre le système d'équations par une des trois méthodes (comparaison, substitution, réduction)

3) Analyser les réponses obtenues afin de choisir adéquatement celles que l'on veut garder

4) Trouver la ou les coordonnées complètes en utilisant une des deux équations de départ


​​ ​EXEMPLE
​Quelles sont les coordonnées des points d'intersection des deux coniques suivantes:
m1524i11.PNG
​CALC​ULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{blue}{\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{36}=1}|
|\color{red}{x^2 = -4 \cdot 2 (y-3)}|

​Trouver l'équation des deux coniques.
|\displaystyle \frac{\color{red}{-4 \cdot 2 (y-3)}}{\color{blue}{16}} \color{blue}{+ \frac{y^2}{36} = 1}|
Substituer la valeur de |\color{red}{x^2}| à la place du |\color{blue}{x^2}|.
​|\displaystyle \frac{-8y+24}{16} + \frac{y^2}{36} = 1|

|-288y + 864 + 16y^2 = 576|

|16y^2 - 288y + 288 = 0|

|\{y_1,y_2\} = \displaystyle \frac{-(-288) \pm \sqrt{(-288)^2-4 \cdot 16 \cdot 288}}{2 \cdot 16}|

|\{y_1,y_2\} \approx \displaystyle \frac{288 \pm 253,99}{32}|

|y_1 \approx 16,94| et |y_2 \approx 1,06|
​Résoudre la nouvelle équation.
|\color{red}{x^2 = -4 \cdot 2} ((1,06)\color{red}{-3)}|​
|x^2= 15,52|
|\color{white}{^2}x = \pm 3,94|
​Selon le graphique, on doit rejeter la valeur de |y_1|. On utilise seulement |y_2| pour trouver les valeurs en |x| recherchées.
​​ ​Ainsi, les coordonnées des points d'intersection sont |\color{fuchsia}{A(3,94; 1,06)}| et |\color{green}{B(-3,94 ; 1,06)}|.



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​ ​

Les points remarquables dans le cercle trigonométrique​​

m1525i19.PNG
À partir de ce dessin, il est important de remarquer deux choses:
- les coordonnées de même couleur sont symétriquement liées
- un tour complet du cercle | = 2 \pi \ rad|


​​ ​EXEMPLE​
​Quelle est la coordonnée du point associé à un angle de |\displaystyle \frac{-17\pi}{4}| ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\displaystyle ​\frac{-17\pi}{4} + 2\pi = \frac{-17\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{-9\pi}{4}|​

​|​\displaystyle \frac{-9\pi}{4} + 2\pi = \frac{-9\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{-\pi}{4}|​

|\displaystyle ​\frac{-\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}|​​
​Additionner ou soustraire un tour (|2\pi|) jusqu'à ce qu'on se retrouve dans l'intervalle |[0, 2\pi]|. 
​|\displaystyle P\left(\frac{-17\pi}{4}\right) = P\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2}\right)|Associer la bonne coordonnée à l'angle trouvé.


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Les vidéos
Les exercices
Les références