Mathématique m1313

Le point milieu et le point de partage d'un segment

Le point de partage d'un segment est un point qui sépare ce segment en deux selon une fraction donnée ou un rapport donné. Le rapport est entre 0 et 1, tous deux inclus.

Le point milieu est un point de partage qui sépare le segment initial en deux segments égaux.

Il est possible de déterminer les coordonnées d'un point de partage d'un segment, c'est-à-dire d'un point situé à une certaine fraction d'un segment.

Dans le triangle rectangle |ACB| ci-dessous, le point de partage |D| coupe le segment |\overline{AB}| en deux parties. Le segment |\overline{AD}| correspond à l'hypoténuse du triangle |ADE|. La valeur de |x| correspond au segment |\overline{AE}| alors que la valeur de |y| correspond au segment |\overline{FC}|. Les triangles |AED| et |ACB| sont semblables par Angle-Angle. Le rapport de similitude entre ces triangles est |\frac{a}{b}| où |a=\mathrm{m}\overline{AD}| et |b=\mathrm{m}\overline{AB}|.

Dans le triangle ci-dessus, le rapport des longueurs entre les segments |\overline{AD}| et |\overline{DB}| de la droite est le même que celui pour les composantes des segments. En effet, le rapport entre les longueurs est égal au rapport entre les accroissements des abscisses (|\overline{AE}| et |\overline{DF}|) et au rapport entre les accroissements des ordonnées (|\overline{DE}| et |\overline{BF}|).

Le point milieu d'un segment

Pour trouver le point milieu d'un segment, on peut utiliser l'équation suivante :
|\displaystyle \text{Point milieu } = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)|, où |(x_1,y_1)| et |(x_2,y_2)| sont les coordonnées des deux extrémités d'un segment.

Cette formule provient de la formule du point de partage qui est présenté plus bas dans cette page, où |k=\frac{1}{2}|.

Quel est le point milieu du segment formé par les points |A(-2, 3)| et |B(1, 0)| ?

Selon la formule :
| \text{Point milieu }=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\frac{-2+1}{2},\frac{3+0}{2}\right)=\left(-0,5; 1,5\right)|

Vérification avec le graphique :



Rapport partie au tout

Lorsque le rapport selon lequel le point |P| sépare un segment |\overline{AB}| est donné par la longueur du segment  |\overline{AP}| (partie) sur la longueur du segment entier |\overline{AB}| (tout), on dit qu'il s'agit d'un rapport partie au tout.

En effet, on compare la partie qui nous intéresse avec le tout qui est le segment en entier. Ce rapport est toujours sous forme de fraction.


Dans cet exemple le rapport partie au tout est :
|\displaystyle \frac{\mathrm{m}\overline{AP}}{\mathrm{m}\overline{AB}}= \frac{2,59}{6,4}|.
Le point |P| partage donc le segment |\overline{AB}| dans un rapport partie au tout de |\frac{2,59}{6,4}|.

Le rapport partie à partie

Lorsque le rapport selon lequel le point |P| sépare un segment |\overline{AB}| est donné par la longueur du segment |\overline{AP}| par rapport à la longueur du segment |\overline{PB}|, on dit qu'il s'agit d'un rapport partie à partie.

Cela veut donc dire qu'on s'intéresse à chacune des deux parties créées par le point de partage |P|.

On donne ce rapport ainsi : |a:b|, où |a=\mathrm{m}\overline{AP}| et |b=\mathrm{m}\overline{PB}|.


Dans cet exemple, le rapport partie à partie est :
|\displaystyle a:b=\mathrm{m}\overline{AP}:\mathrm{m}\overline{PB}=2,59:3,81|.

La formule du point de partage

Évidemment, il est surtout intéressant de déterminer les coordonnées du point de partage |P|.
Le point de partage |P| du segment |\overline{AB}| est donné par la formule :
|(x_p,y_p)=(x_1+k(x_2-x_1),y_1+k(y_2-y_1))|, où |A=(x_1,y_1)|, |B=(x_2,y_2)| et |P=(x_p,y_p)|.

De plus, |k| correspond au rapport partie au tout. Ainsi, si l'on a un rapport partie à partie |a:b|, on calcule |k| ainsi :
|\displaystyle k = \frac{a}{a+b}|.

Il est très important de prendre l'extrémité du segment qui fait office de point de départ comme premier point dans la formule.



Dans cet exemple, le rapport partie à partie est |2,59:3,81|. Ainsi, |a=2,59| et |b=3,81|.

Le rapport partie au tout est :
|\displaystyle k = \frac{a}{a+b}=\frac{2,59}{2,59+3,81}=\frac{2,59}{6,4}|.

Soit les points |A(4,4)| et |B(8,12)|. On veut trouver le point |P| situé au |3/4| du segment |\overline{AB}| à partir du point |A|.

Ici, |(x_1,y_1)=(4,4)| et |(x_2,y_2)=(8,12)|.

De plus, le rapport mentionné dans l'énoncé de départ est un rapport partie au tout. Ainsi, |k=3/4|.

On peut donc appliquer la formule du point de partage |P|.

On débute en calculant l'abscisse du point |P| qu'on peut noter |x_p|.
|\displaystyle x_p = 4 + \frac{3}{4}(8-4)|
|\displaystyle x_p = 4 + \frac{3}{4} \times 4|
|x_p = 4 + 3|
|x_p = 7|

On peut maintenant calculer l'ordonnée du point |P| qu'on peut noter |y_p|.
|\displaystyle y_p = 4 + \frac{3}{4}(12-4)|
|\displaystyle y_p = 4 + \frac{3}{4} \times 8|
|y_p = 4 + 6|
|y_p = 10|

Ainsi, le point de partage est |P=(7,10)|.

Les extrémités d'un segment sont |A=(5,-3)| et |B=(10,6)|. On veut trouver le point |P| situé dans un rapport |3:2| à partir du point |B|.

Il est important de noter que le rapport en est un de partie à partie. Il faut donc le transformer en rapport partie au tout.

Dans cet exemple, |a=3| et |b=2|. On peut donc calculer la valeur de |k| de la façon suivante :
|\displaystyle k = \frac{a}{a+b} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}|. Par conséquent, le rapport partie au tout est |k= \frac{3}{5}|.

Ainsi, on peut utiliser la formule de l'encadré plus haut avec |(x_1,y_1)=(10,6)| et |(x_2,y_2)=(5, -3)|. Il est important de noter qu'ici le point de départ est le point |B|.

|\displaystyle x_p=10+\frac{3}{5}(5-10)|
|\displaystyle x_p = 10 + \frac{3}{5} \times -5|
|x_p = 10 - 3|
|x_p= 7|

|\displaystyle y_p=6+\frac{3}{5}(-3-6)|
|\displaystyle y_p = 6 + \frac{3}{5} \times -9|
|\displaystyle y_p = 6 - \frac{27}{5}|
|\displaystyle y_p = \frac{30}{5} - \frac{27}{5}|
|\displaystyle y_p = \frac{3}{5}|

Les coordonnées du point |P| sont donc |\displaystyle \left(7, \frac{3}{5}\right)|.



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