Mathématique m1385

La mise en évidence double

La double mise en évidence est un procédé qui met en évidence un facteur commun à des groupes de termes ayant eux-mêmes un facteur commun. 

La mise en évidence double s'applique lorsqu'on peut former deux paires de termes ayant un diviseur commun à l'intérieur d'un polynôme. Cette méthode de factorisation se déroule en deux étapes et fait intervenir la mise en évidence simple à plusieurs reprises.

Pour réaliser une mise en évidence double, on doit :

1. Regrouper, habituellement en deux groupes, les termes du polynôme qui ont des facteurs en commun.

2. Effectuer une mise en évidence simple dans chaque regroupement de termes.

3. Effectuer une deuxième mise en évidence simple des facteurs communs aux regroupements.

Il est important de s'assurer que, suite à la première mise en évidence simple, ce qu'il reste dans les groupes est identique.

Soit le polynôme:
|-5xy + x – 20y + 4|

1. Regrouper les termes du polynôme qui ont des variables communes:

|-5xy + x – 20y + 4 = (-5xy + x) + (–20y + 4)|

2. Effectuer une mise en évidence simple dans chaque regroupement:

Première parenthèse
|(-5xy + x) = x\cdot (-5y+1)|

Deuxième parenthèse
|(-20y + 4)= 4\cdot (-5y+1)|

On obtient donc: |x (-5y + 1) + 4 (-5y + 1)|

3. Effectuer une seconde mise en évidence simple des facteurs communs aux deux regroupements:

Puisque |(-5y + 1)| est commun aux deux expressions, ce facteur peut être mis en évidence. On obtient alors:

|(-5y+1)(x+4)|

 

Soit le polynôme suivant:
|4x^{3}y + 6x^{2} + 8xy + 12|

1. Regrouper les termes du polynôme qui ont des variables communes:
|4x^{3}y + 6x^{2} + 8xy + 12 = (4x^{3}y + 8xy) + (6x^{2} + 12)|

2. Effectuer une mise en évidence simple dans chaque regroupement:

Première parenthèse:
|(4x^{3}y + 8xy) = 4xy\cdot (x^2 + 2)|

Deuxième parenthèse:
|(6x^{2} + 12) = 6\cdot (x^{2} +2)|

On obtient donc: |4xy (x^2 + 2) + 6 (x^2 + 2)|

3. Effectuer une seconde mise en évidence simple des facteurs communs aux deux regroupements:

Puisque |(x^2 + 2)| est commun aux deux expressions, ce facteur peut être mis en évidence. On obtient alors:

|(4xy + 6)(x^2 + 2)| ou encore |2(2xy + 3)(x^2 + 2)| si on met le facteur |2| en évidence dans la première parenthèse.

À noter:
Il aurait été possible de commencer la factorisation par une simple mise en évidence pour ensuite continuer par une double mise en évidence des termes obtenus. Cette méthode se serait déroulée ainsi:

|4x^{3}y + 6x^{2} + 8xy + 12|
|=2( (2x^3y + 3x^2) + (4xy + 6))|
|=2 (x^2 (2xy + 3) + 2 (2xy + 3))|
|=2 (2xy + 3) (x^2 + 2)|

 

On peut développer les facteurs obtenus lors de la mise en évidence double pour vérifier s'ils sont équivalents avec le polynôme de départ.

Validation du premier exemple:
|(-5y + 1)(x + 4)|
5x(2x+3)

On applique la distributivité. On obtient donc:
|(-5y\cdot x) + (-5y\cdot 4) + (1\cdot x) + (1\cdot 4)|
|=-5xy - 20y + x + 4|

On constate que le polynôme obtenu est équivalent à celui de départ.

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