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AmandeSarcelle5215

Salut!

comment factoriser une expression rationnelle quand un des termes est au cube par exemple:

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Katia K

Salut!

Le principe reste le même même si les termes sont au cube ou à des puissances élevées. Nous allons d'abord effectuer une mise en évidence simple. Si cela n'est pas possible ou si l'expression n'est encore pas assez réduite après cela, nous pouvons effectuer différentes autres méthodes de factorisation, comme la mise en évidence double, le produit-somme, etc. Dans ce numéro, nous allons commencer par effectuer une mise en évidence simple.

Tout d'abord, nous allons déterminer le plus grand facteur commun dans chaque partie de la fraction, c'est-à-dire dans le numérateur ainsi qu'au dénominateur.

Le plus grand facteur commun de $$4x^3-44x^2+120x$$ est 4x, et le PGFC de $$x^4-12x^3+36x^2$$ est x².

L'expression :

$$ \frac{4x^3-44x^2+120x}{x^4-12x^3+36x^2} $$

devient donc :

$$ \frac{4x(x^2-11x+30)}{x^2(x^2-12x+36)} $$

Nous pouvons réduite l'expression en éliminant la variable x au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne :

$$ \frac{4(x^2-11x+30)}{x(x^2-12x+36)} $$

À cette étape, nous pouvons constater que la mise en évidence simple ne suffit pas, puisque l'expression n'est pas encore factorisée au maximum. Nous allons donc devoir factoriser de nouveau les termes contenus entre les parenthèses, mais cette fois-ci, en employant différentes techniques, car il n'y a plus de PGFC.

Il faut donc bien observer les trinômes et essayer de trouver la méthode la plus appropriée. Les méthodes possibles sont : la mise en évidence double, le produit somme, la complétion du carré, le trinôme carré parfait, la différence de carré et la formule quadratique.

Il est important de bien maitriser les différentes techniques, cela t'aidera à déterminer la bonne méthode à utiliser plus rapidement et facilement.

Chaque méthode sert à factoriser des polynômes sous de spécifique forme. La mise en évidence double s'effectue pour un polynôme de 4 termes, la différence de carrée pour un binôme de deux termes au carré, le trinôme carré parfait pour un trinôme dont les 1e et 3e termes sont des carrés et dont le 2e terme est égal au double du produit des racines carrées du 1e et du 3e terme, la complétion du carré, le produit-somme et la formule quadratique pour des polynômes de la forme ax²+bx+c, quoique le produit-somme est souvent davantage privilégié puisqu'il s'agit d'une méthode assez rapide. Lorsque celle-ci ne fonctionne pas, c'est à ce moment-là que nous avons recours à la formule quadratique, ou essayons d'effectuer une complétion du carré.

Dans notre exemple, puisque nous cherchons à factoriser des trinômes, nous allons donc rejeter les techniques de mise en évidence double et de différence du carré. Nous pouvons constater que le 1e et le 3e terme du trinôme au dénominateur sont des carrés. Nous allons donc vérifier si le 2e terme respecte la seconde condition pour faire un TCP. $$2•(√x² • √36) = 12x$$

Le trinôme au dénominateur est donc un trinôme carré parfait.

Pour le numérateur, il va falloir utiliser la technique de produit-somme. Je te laisse compléter la suite...

Voici une fiche sur cette notion qui pourrait grandement t'aider :

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-factorisation-d-un-polynome-m1077

N'hésite pas si tu as d'autres questions :)