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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 1a

Bonjour,

Je ne comprend pas comment faire ce numéro:


Un cercle de centre (5, 8) est tangent à la droite d'équation x + 3y - 9 = 0. Trouve l'équation de ce cercle.

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Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a April 2021 modifié

    Salut!


    Pour répondre à ta question, il faut être familier avec la formule mathématique d'un cercle et ses paramètres. Une fiche alloprof est disponible sur ce sujet :

    Dans un premier temps, les coordonnées du centre de ce cercle permettent de déduire les paramètres \(h\) et \(k\) de l'équation d'un cercle sous la forme suivante :

    \[(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\]

    Selon les coordonnées (5,8), on peut trouver les valeurs de \(h\) et \(k\) et cela donne la formule suivante :

    \[(x-5)^{2}+(y-8)^{2}=r^{2}\]

    Pour continuer, le paramètre qu'il reste à trouver est le rayon \(r\). Cette étape est compliqué et il y a peut-être plus d'une façon de la résoudre. Ici, je vais t'en proposer une et essayer de te l'expliquer au mieux. Tout d'abord, il faut déterminer l'équation d'une droite passant par le centre du cercle et la tangente. Voici une esquisse de cette droite pour que tu puisses mieux comprendre :

    image.png

    Elle peut être visible en rouge sur la figure. La pente de cette droite peut être déterminée à l'aide de celle de la tangente, car elle est perpendiculaire à celle-ci. En fait, l'une est l'opposé de l'inverse de l'autre. En réécrivant la formule de la tangente comme suit :

    \[x + 3y - 9 = 0\]

    \[y=-\frac{x}{3}+3\]

    La pente de la tangente est \(-\frac{1}{3}\). Cela implique que la pente de la droite voulu est de \(3\). Maintenant, avec cette pente et les coordonnées du centre du cercle, il est possible de connaître l'ordonnée à l'origine :

    \[y=3x+b\]

    \[8=3(5)+b\]

    \[b=8-15=-7\]

    À partir là, il faut connaître le point d'intersection entre les deux droites :

    \[-\frac{x}{3}+3=3x-7\]

    \[3x+\frac{x}{3}=3+7\]

    \[\frac{10x}{3}=10\]

    \[x=3\]

    Avec cette valeur, on peut déterminer les coordonnées suivantes : (3,2). Celles-ci vont permettre le calcul du rayon comme suit :

    \[r=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}}\]

    \[r=\sqrt{(3-5)^{2}+(2-8)^{2}}\]

    \[r=\sqrt{4+36}\]

    \[r=6,3\]

    Alors, l'équation du cercle est la suivante :

    \[(x-5)^{2}+(y-8)^{2}=6,3^{2}\]

    J'espère avoir pu répondre à ta question. Si tu en as d'autres, n'hésite pas !