Le bridge se joue à 4 joueurs avec un jeu de 52 cartes. La main est de 13 cartes. Un des joueurs n'a pas d'as. Calculer la probabilité pour que son partenaire 1) ne possède aucun as? 2) possède au moins 2 as
Explication (1)
Explication d’élève
7 avril 2021
Salut,
\[\ \]
Chacun des quatre joueurs reçoit \(13\) cartes et comme il y a \(52\) cartes dans un jeu, toutes les cartes sont distribuées. Le « premier » joueur a donc \(13\) cartes qui ne sont pas des as. Son partenaire peut donc choisir \(13\) cartes parmi les \(39\) restantes (il y a \(4\) as et \(35\) cartes qui ne sont pas des as). Si tu es familier avec les combinaisons, il y a \(\displaystyle \binom{39}{13} =8\,122\,425\,444\) mains possibles pour ce partenaire.
Combien de mains ne contiennent aucun as ? On doit choisir \(13\) cartes parmi les \(39 - 4 = 35\) cartes restantes, il y a \[\binom{35}{13} = 1\,476\,337\,800\]possibilités.
Ainsi, je pense que la probabilité de ne pas avoir d'as dans sa main est \[\frac{1\,476\,337\,800}{8\,122\,425\,444} = \frac{1\,150}{6\,327} \approx 0,\!18176\]
Pour la deuxième question, il y a plusieurs façons de procéder, cependant je pense que le plus simple serait peut-être de calculer le nombre de mains qui contiennent exactement \(2\) as, exactement \(3\) as et exactement \(4\) as (cela remplit la condition « au moins \(2\) as ») et de faire la somme.
Par exemple, si on s'intéresse au nombre de mains qui contiennent exactement \(2\) as, voici comment on pourrait faire. Il y a \(4\) as et on doit en choisir \(2\) parmi ces quatre. Il y a donc \(\displaystyle \binom{4}{2} = 6\) façons de choisir ces as. Ensuite, il reste \(11\) cartes à choisir qui ne sont pas des as, c'est-à-dire qu'on choisit \(11\) cartes parmi les \(39- 4 = 35\) restantes. Il y a \(\displaystyle \binom{35}{11} = 417\,225\,900\) façons de faire. La probabilité d'obtenir exactement \(2\) as est donc \[\frac{6\times 417\,225\,900}{8\,122\,425\,444} = \frac{650}{2\,109} \approx 0,\!3082\]
PS. Clique ici au besoin pour réviser les combinaisons : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-permutations-les-arrangements-et-les-combinai-m1346
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