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GalaxieArtistique6176

Pouvez-vous prouver grâce a la loi du sinus que dans tout triangle, la bissectrice d'un angle divise le côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.

FerUpsilon5520

Voici une démonstration tirée de Wikipédia

https://fr.wikipedia.org/wiki/Bissectrice

note que la subtilité de la démonstration réside dans l'utilisation de l'égalité suivante: sin θ = sin (π - θ)

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AnanasSuperbe6429

Bonjour GalaxieArtistique6176,

Merci pour ta question :)

La première chose que je t'invite à faire pour cette preuve est de faire un schéma d'un triangle quelconque, avec les sommets nommés A,B et C ainsi que la bissectrice de l'angle A qui rejoint le côté opposé au point D.

On peut tout d'abord utiliser la loi des sinus dans chaque triangle qui vient d'être formé: AB/sin(ADB)=BD/sin(BAD) et AC/sin(ADC)=DC/sin(CAD). Afin de trouver la proportionnalité, on doit effectuer un rapport entre ces équations. L'expression obtenue est alors:

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Finalement, deux propriétés trigonométriques nous permettent de simplifier cette fraction. D'abord, les angles BAD et CAD sont égaux, donc leurs sinus respectifs sont égaux. Ensuite, les sinus des angles supplémentaires sont égaux. Comme ADB et ADC sont supplémentaires, leurs sinus respectifs sont égaux, ce qui nous permet de simplifier encore une fois l'équation. On obtient alors le rapport AB/AC=BD/DC, ou AB/BD=AC/DC. Cela nous confirme que les deux segments sont de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.

N'hésite pas si tu as d'autres questions :)

Sandrine