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Secondaire 5 • 1m

Réduire et simplifier. Svp me montrer les étapes merci

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Mathématiques
Inconnu
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Explications (2)

  • 1m 22 Oct modifié

    bonjour,

    a) On peut décomposer en facteurs premiers le produit des nombres sous le radical:

    \[ \sqrt{245×135×507×25×N} \]

    \[ =\sqrt{(5\times 7^2)\times (3^?\times 5)\times (3\times 13^?)\times (5^?)}\times \sqrt{N} \]

    \[ =\sqrt{3^?\times 5^?\times 7^?\times 13^?}\times \sqrt{N} \]

    \[ =\dots \]

  • Explication vérifiée par Alloprof
    Enseignant Alloprof • 1m 22 Oct modifié

    Salut!


    Tu dois appliquer les différentes lois des exposants pour résoudre ces problèmes, cette fiche pourrait donc t'être très utile :

    https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-lois-des-exposants-m1044


    Pour le a):

    $$ \sqrt{245×135×507×25×N} $$

    D'abord, tu devras utiliser la loi sur la puissance d'un produit, soit :

    image.png

    Nous aurons donc :

    $$ \sqrt{245} × \sqrt{135} × \sqrt{507} × \sqrt{25} × \sqrt{N} $$

    $$ \sqrt{245} × \sqrt{135} × \sqrt{507} × 5 × \sqrt{N} $$

    Puis, tu devras transformer le radicande (le nombre sous la racine) en facteurs, dont l'un serait préférablement un carré. Par exemple, puisque 245 = 5 × 49 = 5 × 7², nous pouvons écrire :

    $$ \sqrt{5 × 49} × \sqrt{135} × \sqrt{507} × 5 × \sqrt{N} $$

    $$ \sqrt{5} × \sqrt{49} × \sqrt{135} × \sqrt{507} × 5 × \sqrt{N} $$

    $$ \sqrt{5} × \sqrt{7^2} × \sqrt{135} × \sqrt{507} × 5 × \sqrt{N} $$

    $$ \sqrt{5} × 7 × \sqrt{135} × \sqrt{507} × 5 × \sqrt{N} $$

    $$ \sqrt{135} × \sqrt{507} × 35 × \sqrt{5} × \sqrt{N} $$

    Tu devras maintenant répéter cette même démarche pour les radicandes 135 et 507, puis réduire ton expression finale si nécessaire.


    Pour le b) :

    $$ \sqrt[4]{ \sqrt[3]{\sqrt[2]{(16^6)^8}}} $$

    Tu auras d'abord besoin d'utiliser la loi suivante :

    image.png

    Ainsi, l'expression devient :

    $$\Bigg(\sqrt[3]{\sqrt[2]{(16^6)^8}}\Bigg)^{\frac{1}{4}} $$

    $$\Bigg(\bigg(\sqrt[2]{(16^6)^8}\bigg)^{\frac{1}{3}}\Bigg)^{\frac{1}{4}} $$

    $$\Bigg(\bigg(\Big((16^6)^8\Big)^{\frac{1}{2}}\bigg)^{\frac{1}{3}}\Bigg)^{\frac{1}{4}} $$


    Finalement, nous pouvons appliquer la loi d'une puissance d'une puissance, soit :

    image.png

    L'expression devient donc :

    $$16^{6×8×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}} $$

    $$16^2 $$



    Voilà! Si tu as d'autres questions, tu sais comment nous joindre :)