Secondaire 2 • 3a
Bonjour, j'ai une question sur mon devoir qui est dur le chapitre de L'homothetie.
Voici le probleme:La suite ci-contre est formee de triangles equilateraux. Les triangles 2 et 3 sont formes a partir du triangle 1. Trouve le k et le k2 entre un triangle formes de 36 triangles equilateraux et le triangle 1. J'ai aucune idee comment s'y prende car il n'y a aucnes mesures.Merci en avance :>
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Bonjour,
En effet, parfois il semble plus compliqué de résoudre quand nous n'avons pas de nombre. Cependant, c'est faisable et ça se pratique!
Ici, le truc est de remplacer la valeur non connue par une variable.
Ne connaissant aucune mesure, disons alors que l'aire du triangle 1 (aussi appelé triangle initial) est A.
Puisque le triangle image est formé de 36 de ce triangle équilatéral, l'aire sera donc 36 fois plus grande, notée 36A.
Étant donné qu'on connait maintenant la mesure d'aire pour chacun des triangles, on peut calculer la valeur du rapport des aires, k2:
$$\begin{align} k^2&={\small\frac{A \text{ du triangle image}}{A\text{ du triangle initial}}}\\&=\frac{36 \cdot A}{ A}\\ &=36 \\ \end{align} $$
Les A se sont annulés!!! Il n'était donc pas nécessaire de connaître les mesures exactes pour cette raison.
On peut utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports.
Puisque la mesure recherchée est une mesure de segment, on doit déduire la valeur du rapport de similitude k1:
$$ \begin{align}k^1&=\sqrt{k^2}\\ &=\sqrt{36}\\ &=6\\ \end{align} $$
Et voilà, les deux rapports sont trouvés!
Tu peux consulter la fiche d'Alloprof intitulée Les rapports de similitude, d'aire et de volume (k, k², k³), plus précisément la partie avec k1 et k2. Tu y verras un exemple qui ressemble à ton exercice, et, qui sait, peut-être auras-tu besoin des explications pour d'autres de tes exercices?
Bonne continuation!
Notons par A l'aire du triangle1.
L'aire du triangle formé de 36 triangles équilatéraux = 36A.
Le rapport des aires = 36A ÷ A = 36.
Je te laisse déterminer k2 et k.
N'hésite pas si tu as des questions.
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