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Zone d’entraide

Question de l’élève

Postsecondaire • 1a

bonsoir Simon,

Par rapport au problème du triangle dans l'ellipse suivant:

https://www.alloprof.qc.ca/zonedentraide/discussion/2613/question/p1

Peux-tu m'expliquer (sans utiliser la dérivée) pourquoi dans le cercle unité, le plus grand triangle rectangle possible est le triangle rectangle isocèle ?

J'ai beau chercher, je ne trouve pas!

Merci.

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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a April 2021 modifié

    Salut Alain,

     

    Disons que l’hypoténuse du triangle est \(\overline{OP}\) avec \(O(0,\, 0)\) et \(P(x, y)\) et \(P\) sur le cercle. L’aire du triangle rectangle est donc \[A = \frac{xy}{2}\]Il faut maximiser \(A\). Notant que \(x\), \(y\) et \(A\) sont positifs, on peut plutôt maximiser \[A^2 = \frac{x^2 y^2}{4}\]On sait aussi que \(x^2 + y^2 = 1\), donc que \(x^2 = 1\,–\,y^2\). Cela revient à maximiser \[A^2 = \frac{1}{4} \cdot (1-y^2)(y^2)\]Ce maximum est atteint lorsque \[1\,-\, y^2 = y^2\] (pense au maximum de la fonction quadratique \(f(z) = z(1-z)\), avec \(y^2 =z\) dans notre cas). Ainsi, on a \[1-y^2 = y^2\] \[1 = 2y^2\] \[\frac{1}{2} = y^2\] \[\frac{1}{\sqrt{2}} = y\] puisque \(y>0\). Enfin, on trouve que \(x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}\) et le triangle est isocèle (son aire est \(\frac{1}{4}\)).

     

    D’autre part si on prend l’hypoténuse comme base (dont la mesure restante constante, \(1\)), et qu’on considère la hauteur relative à l’hypoténuse (donc son extrémité est sur l’axe des \(x\)), maximiser l’aire revient à maximiser la mesure de la hauteur. J’imagine qu’on peut penser à un argument se basant sur la symétrie pour y arriver. Il faudrait y réfléchir.

     

    Mon objectif n’était pas nécessairement d’offrir une réponse d’une rigueur irréprochable sachant que de toute façon que l’élève utilisait Excel, mais bien d’offrir une autre stratégie que je trouvais amusante et intuitive.

     

    Tout cela me faisait penser à ceci : si jamais tu tombes sur une copie de Maxima and Minima Without Calculus, d’Ivan Niven (MAA, 1981), c’est un livre que je pense tu trouveras fort intéressant plein de raisonnements géniaux. Un extrait un peu en lien avec la discussion (surtout 3.2C) :

     

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    Bonne journée !