Zone d’entraide

PandaOrange6185

Bonjour,

Je me permets de poser la même question que plus tôt dans la soirée, car même si j’ai beaucoup apprécié les explications et le temps qui a été pris pour me répondre, ça ne m’a pas vraiment aidée, désolée :(

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J’arrive à résoudre jusqu’à ce point, mais je ne comprends pas comment isoler x après. Je sais qu’il faut les transformer en log et je connais déjà les formules mais je n’arrive pas à comprendre comment faire concrètement. Je connais déjà la réponse ( 16.109 ) et ce n’est pas pour ça que je demande de l’aide. Je veux simplement comprendre la démarche.

Merci d’avance encore une fois!

LoutreSolidaire8177

Salut !

Je n'ai pas vu les autres réponses, mais voici ce que je ferais puisque tu suggères de « transformer en log ».

Ainsi, puisque \[5(1,\!01)^{x} = (3)^{\frac{x}{10}}\]on prend le logarithme de chaque côté : \[\log\left(5(1,\!01)^{x}\right) =\log\left( (3)^{\frac{x}{10}}\right)\]

On isole \(x\). Si tu te réfères aux lois et propriétés des logarithmes, tu sais que \[\log(AB) = \log(A) + \log(B)\]

Ton expression, \[\log\left(5(1,\!01)^{x}\right) =\log\left( (3)^{\frac{x}{10}}\right)\]devient \[\log(5)+\log\left((1,\!01)^{x}\right) =\log\left( (3)^{\frac{x}{10}}\right)\]car il y a un produit entre \(5\) et \((1,\!01)^{x}\).

Ensuite, toujours en te référant aux lois et propriétés, \[\log(A^{B}) = B\log(A)\]Ton expression, \[\log(5)+\log\left((1,\!01)^{x}\right) =\log\left( (3)^{\frac{x}{10}}\right)\]devient \[\log(5)+x\cdot \log(1,\!01) =\frac{x}{10}\cdot\log(3)\]Note que j'ai utilisé cette propriété deux fois : avec \(\log\left((1,\!01)^{x}\right)\) et avec \( \log\left((3)^{\frac{x}{10}}\right)\).

Là c'est essentiellement terminé pour les logarithmes. Il te reste à regrouper les termes en \(x\) d'un côté et les termes constants de l'autre : \[\log(5)+x\cdot \log(1,\!01) =\frac{x}{10}\cdot\log(3)\]devient \[\log(5)=\frac{x}{10}\cdot\log(3)-x\cdot \log(1,\!01) \]Tu fais une mise en évidence de \(x\) \[\log(5) = x\left(\frac{1}{10}\cdot\log(3)-\log(1,\!01)\right)\]et tu divises les deux côtés de l'équation par \[\frac{1}{10}\cdot\log(3)-\log(1,\!01)\]Tu obtiens \[\frac{\log(5)}{\frac{1}{10}\cdot\log(3)-\log(1,\!01)} = x\]

Si tu entres tout cela dans ta calculatrice (attention à la priorité des opérations, je te suggère de le faire en plusieurs étapes), tu devrais obtenir la valeur attendue.

\[16,\!1087 \approx x\]

Bon succès !