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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 3 • 1a

Bonjour, j'ai un examen de math lundi mais je n'arrive pas a résoudre ces exercises que mon enseignant a envoyé comme révision. Pouvez-vous m'expliquer comment la réponse se trouve et les étapes pour arriver a la réponse? Merci!

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Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a April 2021 modifié

    Bonjour,

    Pour y parvenir, il faut connaitre les lois des exposants.

    En faisant une lecture rapide, je remarque que pour ces exercices il est important de savoir que lorsqu'il y a un exposant négatif, tu peux inverser le nombre au numérateur/dénominateur selon sa position pour rendre cet exposant positif.

    En effet, $$ x^{-1} = \frac{1}{x^1} $$

    De plus, il faut aussi savoir que lorsqu'un même nombre se trouve à la fois au numérateur et au dénominateur, mais avec un exposant différent, il est possible de faire une soustraction de ses exposants.

    Par exemple,

    $$\frac{x^2}{x^5} = x^{2 - 5} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$$

    Ou encore directement soustraire 2 de 5 :

    $$\frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^3}$$

    De plus, une racine carré revient à un exposant 1/2, une racine cubique à un exposant 1/3 et ainsi de suite..

    $$ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $$

    $$ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $$

    Enfin, lorsqu'une base est multipliée par une même base, mais qui a un exposant différent, on peut additionner ses exposants. $$ a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} $$

    D'autres lois des exposants sont présentes dans la fiche suivante. Il est TRÈS IMPORTANT de réviser ces notions pour réussir ton examen. Ce sont des règles de base qu'il faut comprendre et maitriser. Lis le document attentivement.

    Maintenant, essayons quelques-uns de tes exercices de révision.

    Pour la question #1, il faut trouver ce qui est équivalent à

    $$\frac{7^5 \cdot 5^{-5}}{7{-^3}\cdot 5^2} $$

    Manipulons cette expression pour trouver le résultat simplifié.

    $$ \begin{align} \frac{7^5 \cdot 5^{-5}}{7^{-3}\cdot 5^2} &= \frac{7^5 \cdot 7^3 }{5^5\cdot 5^2}\\ &= \frac{7^{5 +3}}{5^{5+2}} \\ &= \frac{7^8}{5^{7}} \\ \end{align} $$

    Maintenant que nous avons le résultat, il suffit de manipuler les expressions a), b), c) et d) pour trouver lesquelles sont équivalentes.

    Faisons le a) ensemble.

    $$ \frac{5^2 \cdot 7^{6}}{5^{9}\cdot 7^{-2}} $$

    Nous pouvons y parvenir de deux façons.

    1) Mettre du même bord le même nombre et additionner/soustraire les exposants.

    $$ \begin{align} \frac{5^2 \cdot 7^{6}}{5^{9}\cdot 7^{-2}} &= \frac{5^2 \cdot 7^{6} \cdot 7^{2}}{5^{9} } \\ &= 5^{2-9}\cdot 7^{6+2} \\ &= 5^{-7} \cdot 7^{8} \\ &= \frac{7^8}{5^7} \\ \end{align}$$

    ou

    2) Soustraire directement les exposants lorsqu'on est à l'aise et que les étapes précédentes prennent trop de temps.

    $$ \frac{5^2 \cdot 7^{6}}{5^{9}\cdot 7^{-2}} = \frac{7^8}{5^7} $$

    $$ \frac{7^8}{5^7} = \frac{7^8}{5^{7}} $$

    Ainsi, a) est équivalente à l'expression. Je te laisse faire les autres sous-questions.

    Pour le d) lorsque toute l'expression est à la -1, on met le numérateur au dénominateur et le dénominateur au numérateur.

    $$ \begin{align} a^{-m}&= \frac{1}{a^{m}}\\ \left(\frac{a}{b}\right)^{-m}&=\left(\frac{b}{a}\right)^{m} \\\end{align} $$

    Pour la question #2

    Il est important de savoir que si 

    $$a^{m}=a^{n}$$ alors m=n.

    Et

    $$ a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} $$

    Ainsi,

    $$ \begin{align} 2^4 \cdot 2^x = 2^8\\ 2^x &= \frac{2^8}{2^{4}} \\ 2^x &= 2^4\\ x &= 4\\ \end{align}$$

    Je crois que tu es en mesure de faire les autres.

    Bonne chance!

    Si tu bloques sur un numéro spécifique, dis le nous, mais assures-toi avant d'avoir lu la fiche explicative et avoir essayé une démarche par toi-même!

    Bon examen!