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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 1a
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Je ne comprends pas comment faire pour résoudre les numéros 20 et 21

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a May 2021 modifié

    Salut,


    Pour le #20 a), note que \(4,\!5 = \frac{9}{2} = \frac{3^2}{2}\). Ainsi, on a \begin{align*}\log_{x}\left(4,\!5x^2\right) &= \log_{x}\left(\frac{3^2}{2}x^2\right) \\ \\ &= \log_{x}\left(\frac{3^2}{2}\right) + \log_{x}\left(x^2\right) \\ \\ &= \log_{x}\left(3^2\right) - \log_{x}\left(2\right) + \log_{x}\left(x^2\right) \\ \\ &= \ \dots \end{align*}Tu peux terminer ? En utilisant la propriété \[\log_{c}(x^y) = y \cdot \log_{c}(x)\]tu dois retrouver les expressions équivalentes à \(a\) et \(b\). À toi de jouer !


    Pour le #20 b), c'est une composition de fonctions. Tu dois donc d'abord trouver la valeur de \[f(100) = 49^{3(100)}\]et ensuite utiliser cette valeur dans la règle de \(g\) \[g(f(100)) = \log_{7}(f(100))\]et bien sûr réduire.


    Pour le #21 a), on sait que \begin{align*}6c &= 6\log(xy) \\ \\ &= 6\Big(\log(x) + \log(y)\Big) \\ \\ &=6\log(x) + 6\log(y) \\ \\ &= (2\cdot 3)\log(x) + (3 \cdot 2)\log(y) \\ \\ &= \ \dots \end{align*}Il te reste à utiliser la propriété des logarithmes mentionnée ci-haut pour retrouver des expressions équivalentes à \(a\) et \(b\).


    Pour le #21 b), cela ressemble au problème #16 expliqué par mon collègue dans ton autre questions. En utilisant les propriétés des logarithmes on obtient une suite de terme (additions et soustractions) qui se simplifient. Note que \begin{align*}x &= \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{n}\right) \\ \\ \log_{c}(x) &= \log_{c}\left(\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{n}\right)\right) \\ \\ \log_{c}(x) &= \log_{c}\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \log_{c}\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \log_{c}\left(1-\frac{1}{4}\right)+ \dots + \log_{c}\left(1 - \frac{1}{n}\right) \\ \\ \log_{c}(x) &= \log_{c}\left(\frac{1}{2}\right) + \log_{c}\left(\frac{2}{3}\right) + \log_{c}\left(\frac{3}{4}\right) + \dots + \log_{x}\left(\frac{n-1}{n}\right) \\ \\ \log_{c}(x) &= \log_{c}(1) - \log_{c}(2) + \log_{c}(2) - \log_{c}(3) + \log_{c}(3) - \log_{c}(4) + \dots + \log_{c}(n-1) - \log_{c}(n) \\ \\ \log_{c}(x) &= \log_{c}(1)-\log_{c}(n) \\ \\ &\dots \end{align*}

    À toi de terminer !


    N'hésite pas à nous réécrire au besoin :-)