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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 3 • 3m

Bonjour je suis dans le cahier sommet au chapitre 1 comment je dois trouver la clé pour résoudre ce problème merci d'avance!

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Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication vérifiée par Alloprof

    Explication vérifiée par Alloprof

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    Pro de la zone d’entraide • 3m October 2022 modifié

    Bonjour,


    Je ne sais pas à quel genre de réponse on s'attend. J'aimerais bien jeter un coup d'œil au corrigé.


    Les constructions à la règle (non-marquée) et au compas ne nous permettent de construire que des nombres rationnels (des fractions d'entiers) qu'on peut combiner avec les quatre opérations habituelles, \(+\), \(-\), \(\times\), \(\div\) et les racines carrées, \(\sqrt{\phantom{2}}\). Note qu'il s'agit seulement de la racine carrée et non cubique ou de de degré supérieur. On peut cependant imbriquer des racines dans d'autres au besoin.


    Puisque l'aire d'un disque de \(1\) dm de rayon est \begin{align*}A &= \pi \times r^2 \\ \\ &= \pi \times 1^{2} \\ \\ &= \pi\end{align*}dm², cela voudrait dire qu'il faudrait construire un carré donc les côtés mesurent \(\sqrt{\pi}\) dm. Or, le nombre \(\sqrt{\pi}\) est un nombre transcendant : on ne peut pas l'exprimer en combinant des nombres rationnels avec des racines (carrées ou autres) et les quatre opérations habituelles.


    Comment sais-je cela ? Je le sais car ce fut un problème important et très connu des mathématiciens (comme l'affirme d'ailleurs Danika). Cependant la démonstration dépasse de très très très loin les notions vues au secondaire. Ainsi, je ne sais pas exactement ce qu'ils entendent par « démontre que la construction est impossible ». Clique ici pour l'histoire du problème :

    Tu peux regarder les sections «Formulation algébrique du problème et irrationalité de π» et «Preuve de l'impossibilité d'une quadrature exacte» au milieu de la page.


    En espérant t'avoir donné un coup de main !