Zone d’entraide

CitrinePerspicace1624

Bonjour, je ne comprend pas ce que c'est les systèmes d'équations.

Amayas K

Salut Maxyme,

Un système d'équation est un ensemble d'au moins deux équations que l'on peut résoudre en ayant recours à diverses méthodes (comparaison, substitution, réduction).

En secondaire 3, un système d'équation est utilisé quand on a une situation à deux variables et que l'on doit trouver la valeur de ces deux variables à partir de deux équations. Prenons un exemple concret.

Imaginons qu'à la cantine de mon école, lorsque je commande 2 sandwichs et 3 boissons, je doive payer 10,50$ et que lorsque je commande 3 sandwichs et 7 boissons, je doive plutôt payer 19,50$. Quel est le prix d'un seul sandwich et quel est le prix d'une seule boisson?

1) Pour arriver à répondre à la question, la première étape consiste à nommer tes variables.

Par exemple:

x: prix d'un sandwich (en $)

y: prix d'une boisson (en $)

2) Tu traduis sous forme d'équations les données de ton problème

2x + 3y = 10,50

3x + 7y = 19,50

C'est cela qu'on appelle un système d'équation!

3) Tu résout ton système d'équation en ayant recourt à la méthode qui te semble la plus appropriée (comparaison, substitution ou réduction)

Voici un lien qui explique chacune de ces méthodes https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-resolution-de-systemes-d-equations-lineaire-m1090

Pour notre exemple, nous utiliserons la méthode la plus usuelle, celle de la comparaison. Suivons une à une les étapes de la méthode de comparaison:

1) Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire.

2x + 3y = 10,50

2x + 3y - 2x = 10,50 - 2x

3y = 10,50 - 2x

3y/3 = (10,50 - 2x)/3

y= (10,50 - 2x)/3

On vient d'isoler le y pour la première équation, on fait la même chose pour la seconde équation et ça nous donne :

y = (19,50 - 3x)/7

J'ai sauté les étapes d'isolement de la variable afin de rendre la réponse plus courte, mais il va sans dire que tu auras à suivre toutes les étapes quand viendra le temps de résoudre un système d'équation.

2) Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques.

Comme y=y, alors on peut résoudre notre système d'équation en comparant nos deux expressions (on se débarrasse alors du y):

(10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7

3) Résoudre cette équation.

(10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7

(10,50 - 2x)/3 x7 = (19,50 - 3x)/7 x7

(7 (10,50 - 2x)) / 3 = 19,50 - 3x

(73,50-14x)/3 = 19,50 - 3x

73,50/3 - 14x/3 = 19,50 - 3x

24,5 - 14x/3 = 19,50 - 3x

24,5 - 14x/3 -19,50 = -3x

24,5 - 19,50 -14x/3 + 14x/3 = -3x + 14x/3

5 = -9x/3 + 14x\3

5= 5x\3

5 x 3 = (5x/3) x 3

15 = 5x

x = 3

Donc le prix d'un sandwich est de 3$

4) Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.

Prenons l'équation 2x + 3y = 10,50

On sait désormais que x = 3, donc on a :

2 x 3 + 3y = 10,50

6 + 3y = 10,50

6 + 3y - 6 = 10,50 - 6

3y = 4,50

(3y)/3 = 4,50/3

y = 1,50

Donc une boisson coûte 1,50$

5) Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales.

1) 2x + 3y = 10,50

2 x 3 + 3 x 1,50 = 10,50

6 + 4,50 = 10,50

2) 3x + 7y = 19,50

3 x 3 + 7 x 1,50 = 19,50

9 + 10,50 = 19,50

19,50 = 19,50

Les résultats sont valides.

La réponse est donc: un sandwich coûte 3$ et une boisson coûte 1,50$.

J'espère que cette réponse a pu t'éclairer sur ce qu'est un système d'équation. N'hésite pas à te référer au besoin au lien mis plus haut!