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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 3 • 1a

Bonjour, je ne comprend pas ce que c'est les systèmes d'équations.

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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a March 2021 modifié

    Salut Maxyme,

    Un système d'équation est un ensemble d'au moins deux équations que l'on peut résoudre en ayant recours à diverses méthodes (comparaison, substitution, réduction).

    En secondaire 3, un système d'équation est utilisé quand on a une situation à deux variables et que l'on doit trouver la valeur de ces deux variables à partir de deux équations. Prenons un exemple concret.

    Imaginons qu'à la cantine de mon école, lorsque je commande 2 sandwichs et 3 boissons, je doive payer 10,50$ et que lorsque je commande 3 sandwichs et 7 boissons, je doive plutôt payer 19,50$. Quel est le prix d'un seul sandwich et quel est le prix d'une seule boisson?

    1) Pour arriver à répondre à la question, la première étape consiste à nommer tes variables.

    Par exemple:

    x: prix d'un sandwich (en $)

    y: prix d'une boisson (en $)


    2) Tu traduis sous forme d'équations les données de ton problème

    2x + 3y = 10,50

    3x + 7y = 19,50

    C'est cela qu'on appelle un système d'équation!


    3) Tu résout ton système d'équation en ayant recourt à la méthode qui te semble la plus appropriée (comparaison, substitution ou réduction)

    Voici un lien qui explique chacune de ces méthodes https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-resolution-de-systemes-d-equations-lineaire-m1090

    Pour notre exemple, nous utiliserons la méthode la plus usuelle, celle de la comparaison. Suivons une à une les étapes de la méthode de comparaison:

    1) Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire.

    2x + 3y = 10,50

    2x + 3y - 2x = 10,50 - 2x

    3y = 10,50 - 2x

    3y/3 = (10,50 - 2x)/3

    y= (10,50 - 2x)/3

    On vient d'isoler le y pour la première équation, on fait la même chose pour la seconde équation et ça nous donne :

    y = (19,50 - 3x)/7

    J'ai sauté les étapes d'isolement de la variable afin de rendre la réponse plus courte, mais il va sans dire que tu auras à suivre toutes les étapes quand viendra le temps de résoudre un système d'équation.

    2) Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques.

    Comme y=y, alors on peut résoudre notre système d'équation en comparant nos deux expressions (on se débarrasse alors du y):

    (10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7


    3) Résoudre cette équation.

    (10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7

    (10,50 - 2x)/3 x7 = (19,50 - 3x)/7 x7

    (7 (10,50 - 2x)) / 3 = 19,50 - 3x

    (73,50-14x)/3 = 19,50 - 3x

    73,50/3 - 14x/3 = 19,50 - 3x

    24,5 - 14x/3 = 19,50 - 3x

    24,5 - 14x/3 -19,50 = -3x

    24,5 - 19,50 -14x/3 + 14x/3 = -3x + 14x/3

    5 = -9x/3 + 14x\3

    5= 5x\3

    5 x 3 = (5x/3) x 3

    15 = 5x

    x = 3

    Donc le prix d'un sandwich est de 3$

    4) Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.

    Prenons l'équation 2x + 3y = 10,50

    On sait désormais que x = 3, donc on a :

    2 x 3 + 3y = 10,50

    6 + 3y = 10,50

    6 + 3y - 6 = 10,50 - 6

    3y = 4,50

    (3y)/3 = 4,50/3

    y = 1,50

    Donc une boisson coûte 1,50$


    5) Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales.

    1) 2x + 3y = 10,50

    2 x 3 + 3 x 1,50 = 10,50

    6 + 4,50 = 10,50


    2) 3x + 7y = 19,50

    3 x 3 + 7 x 1,50 = 19,50

    9 + 10,50 = 19,50

    19,50 = 19,50


    Les résultats sont valides.

    La réponse est donc: un sandwich coûte 3$ et une boisson coûte 1,50$.


    J'espère que cette réponse a pu t'éclairer sur ce qu'est un système d'équation. N'hésite pas à te référer au besoin au lien mis plus haut!