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Mathématiques

Secondaire 3 • 22 mars 2021

Bonjour, je ne comprend pas ce que c'est les systèmes d'équations.

Explication (1)

Explication d’élève

22 mars 2021

Salut Maxyme, Un système d'équation est un ensemble d'au moins deux équations que l'on peut résoudre en ayant recours à diverses méthodes (comparaison, substitution, réduction). En secondaire 3, un système d'équation est utilisé quand on a une situation à deux variables et que l'on doit trouver la valeur de ces deux variables à partir de deux équations. Prenons un exemple concret. Imaginons qu'à la cantine de mon école, lorsque je commande 2 sandwichs et 3 boissons, je doive payer 10,50$ et que lorsque je commande 3 sandwichs et 7 boissons, je doive plutôt payer 19,50$. Quel est le prix d'un seul sandwich et quel est le prix d'une seule boisson? 1) Pour arriver à répondre à la question, la première étape consiste à nommer tes variables. Par exemple: x: prix d'un sandwich (en $) y: prix d'une boisson (en $) 2) Tu traduis sous forme d'équations les données de ton problème 2x + 3y = 10,50 3x + 7y = 19,50 C'est cela qu'on appelle un système d'équation! 3) Tu résout ton système d'équation en ayant recourt à la méthode qui te semble la plus appropriée (comparaison, substitution ou réduction) Voici un lien qui explique chacune de ces méthodes https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-resolution-de-systemes-d-equations-lineaire-m1090 Pour notre exemple, nous utiliserons la méthode la plus usuelle, celle de la comparaison. Suivons une à une les étapes de la méthode de comparaison: 1) Isoler une même variable dans les deux équations, si nécessaire. 2x + 3y = 10,50 2x + 3y - 2x = 10,50 - 2x 3y = 10,50 - 2x 3y/3 = (10,50 - 2x)/3 y= (10,50 - 2x)/3 On vient d'isoler le y pour la première équation, on fait la même chose pour la seconde équation et ça nous donne : y = (19,50 - 3x)/7 J'ai sauté les étapes d'isolement de la variable afin de rendre la réponse plus courte, mais il va sans dire que tu auras à suivre toutes les étapes quand viendra le temps de résoudre un système d'équation. 2) Former une équation à une variable en comparant les deux expressions algébriques. Comme y=y, alors on peut résoudre notre système d'équation en comparant nos deux expressions (on se débarrasse alors du y): (10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7 3) Résoudre cette équation. (10,50 - 2x)/3 = (19,50 - 3x)/7 (10,50 - 2x)/3 x7 = (19,50 - 3x)/7 x7 (7 (10,50 - 2x)) / 3 = 19,50 - 3x (73,50-14x)/3 = 19,50 - 3x 73,50/3 - 14x/3 = 19,50 - 3x 24,5 - 14x/3 = 19,50 - 3x 24,5 - 14x/3 -19,50 = -3x 24,5 - 19,50 -14x/3 + 14x/3 = -3x + 14x/3 5 = -9x/3 + 14x\3 5= 5x\3 5 x 3 = (5x/3) x 3 15 = 5x x = 3 Donc le prix d'un sandwich est de 3$ 4) Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable. Prenons l'équation 2x + 3y = 10,50 On sait désormais que x = 3, donc on a : 2 x 3 + 3y = 10,50 6 + 3y = 10,50 6 + 3y - 6 = 10,50 - 6 3y = 4,50 (3y)/3 = 4,50/3 y = 1,50 Donc une boisson coûte 1,50$ 5) Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations initiales. 1) 2x + 3y = 10,50 2 x 3 + 3 x 1,50 = 10,50 6 + 4,50 = 10,50 2) 3x + 7y = 19,50 3 x 3 + 7 x 1,50 = 19,50 9 + 10,50 = 19,50 19,50 = 19,50 Les résultats sont valides. La réponse est donc: un sandwich coûte 3$ et une boisson coûte 1,50$. J'espère que cette réponse a pu t'éclairer sur ce qu'est un système d'équation. N'hésite pas à te référer au besoin au lien mis plus haut!