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Salut OrAutonome2754,

Simplement pour faire du pouce sur les explications précédentes, si tu utilises le théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse au b), tu obtiens \[(3x)(x + 1) = 7^2\]ou \[3x^2 + 3x = 49\] \[3x^2 + 3x - 49 = 0\]Tu dois utiliser la formule quadratique ou compléter le carré pour trouver la valeur de \(x\).

À toi de jouer !

15a)
Pour trouver rapidement mGE, on utilise le théorème de la cathète (impliquant GD, GF et GE).
Voir la fiche mentionnée dans mon autre réponse.

15b)
Pour déterminer la valeur de x, voir «Théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse» sur cette fiche :

Bonjour,
Je te félicite d'avoir commencé le numéro et de nous avoir envoyé toute ta démarche ainsi que de nous préciser ce que tu ne comprends pas et ce que tu penses! C'est plus facile d'aider ainsi! Bravo!
Passons maintenant à ce qui marche et ce qui ne marche pas.
1) Mesure de hauteur DF
Je vois que tu as calculé ≈ 3,97 pour la hauteur DF ce qui est bon! Attention! 🚧 Je te conseille cependant de ne pas arrondir tout de suite. Garde le nombre 3,9686 cm. Sinon, au moment de venir calculer l'aire, il va nous manquer des chiffres après la virgule et la réponse ne sera pas aussi précise. N'arrondis qu'à la toute fin.
De plus, fais attention aux erreurs d'inattention, car je vois que tu as écrit 3,92 à l'étape suivante au lieu de 3,97.
2) Aire du triangle interne
Tu as tout de suite calculé l'aire du triangle interne DEG. Cependant, tu as indiqué que sa base est 4.5 cm. Ceci est faux. En effet, 4,5 cm est la base du triangle DFG, pas du triangle interne au complet.
Trouvons alors la véritable aire.
2.1) Mesure de l'angle G
À l'aide des identités trigonométriques, il est possible de trouver l'angle G sachant que l'hypoténuse est 6 cm et le côté adjacent est 4.5 cm.
2.2) Mesure de l'angle E
Connaissant la mesure de l'angle G, puis que l'angle D = 90° ainsi que la formule suivante:
Somme des mesures des angles internes d'un triangle = 180° = angle 1 + angle 2 + angle 3
On trouve l'angle E:
$$\begin{align} 180° &= angle G + angle D + angle E \ 180° - angle G - angle D &= angle E \ \end{align}$$
2.3) Mesure du segment EF
Ayant la mesure de l'angle E trouvé précédemment et la mesure du segment DF trouvé en 1), tu peux trouver à l'aide de l'identité trigonométrique tan la mesure du segment EF.
Ainsi, la base du triangle interne DEG = EF + FG.
Ayant maintenant la base, tu peux trouver l'aire de ce triangle.
3) Aire du triangle ABC
Comme tu le dis, tu as l'angle de 30°. Tu sais que c'est un triangle rectangle et tu as aussi la valeur du segment AB, qui est l'hypoténuse.
Tu peux avoir la hauteur AC (ou a comme tu l'as écrit) à l'aide d'une identité trigonométrique.
Tu pourras aussi trouver la base BC (ou c).
Avec la hauteur et la base, tu auras ton aire !
Finalement, il suffira de soustraire l'aire du triangle blanc DEG à l'aire du triangle ABC pour trouver l'aire de la région colorée.
Bonne continuation!

Sur quelle triangle?
pour savoir?
dans quelle section du cahier
merci louis-Philippe Calmels