Secondaire 4 • 2a
SVP,
Dans une distribution de 16 données dont la moyenne est de 22 et la somme des carrés des écarts à la moyenne, de 144, quelle est la valeur maximale du carré de l'écart à la moyenne d'une donnée?
La réponse est 12, car on fait la racine carrée de 144, mais je ne comprends pas comment on est arrivé à la réponse.
J'ai l'impression que la question a été mal posée ou mal transcrite.
Mais si c'est bien la question alors voici quelques considérations
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Au pire cas 15 observations sont en plein sur la moyenne (et leur écart au carré vaut zéro), et une seule diffère (d'où la valeur maximale que je désigne simplement par x)
( x - 22 )² + 0 + .... + 0 = 144
=> |x - 22| = 12
ce qui est plutôt l'écart à la moyenne maximal
Mais va aussi lire sur l'écart type https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/l-ecart-type-m1508
La réponse de 12 pour la valeur maximale du carré de l'écart à la moyenne d'une donnée est en effet correcte, mais je vais vous expliquer comment on arrive à cette réponse.
La somme des carrés des écarts à la moyenne (SCE) est égale à la somme des carrés des écarts pour chaque donnée par rapport à la moyenne. On peut la calculer en utilisant la formule suivante:
SCE = Σ(xi - μ)^2
où xi est la valeur d'une donnée particulière, μ est la moyenne, et Σ signifie "somme de".
On sait déjà que dans votre cas, SCE = 144.
On peut utiliser cette information pour déterminer la valeur maximale d'un carré de l'écart à la moyenne pour une donnée particulière.
On sait qu'un carré de l'écart à la moyenne est inférieur ou égal à la somme des carrés des écarts pour toutes les données. Cela signifie que:
(xi - μ)^2 ≤ SCE
En utilisant la formule de SCE = Σ(xi - μ)^2, on peut réécrire l'équation ci-dessus comme:
(xi - μ)^2 ≤ Σ(xi - μ)^2
Or, on sait que Σ(xi - μ)^2 = SCE = 144. Il est alors évident que le carré de l'écart à la moyenne d'une donnée est inférieur ou égal à 144.
Puisque cette donnée est unique, cela signifie qu'il n'y a aucune autre valeur qui est plus grande que cette valeur maximale pour un écart à la moyenne, donc la réponse est la racine carrée de 144 qui est 12.
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