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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 1a
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Bonjour, je n'arrive pas a faire l'exercice suivant. Pouvez-vous m'aider ^

Merci!

Mathématiques
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Explications (2)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a May 2021 modifié

    Bonjour Marion,


    La première des choses à faire est de trouver la valeur de A.


    Tu sais que la valeur en abscisse du point A est 3/4. Or, l'axe des abscisse correspond à l'axe des cosinus. Ainsi, la valeur en abscisse correspond au \( \cos A\).

    Tu peux donc trouver A en faisant:

    $$\cos A=3/4$$

    Donc:

    $$A=\cos^{-1}(3/4)$$


    Ta calculatrice te donneras une réponse positive se trouvant dans le premier quadrant. Or, tu vois que pour une coordonnée en x de 3/4, tu as effectivement deux réponse: une située dans le 1er quadrant et une située dans le quatrième quadrant.

    Souviens toi que \( \cos (\theta) = \cos (-\theta) \).

    Pour choisir celle du quatrième quadrant, il te suffit alors de prendre la réponse opposée à celle trouvée (il suffit de mettre un signe - devant).


    Une fois que tu auras trouvé la valeur de A, il te restera à trouver les coordonnées des points demandés.


    Dans le premier numéro on te demande de donner les coordonnées de \( P(A+\pi) \).


    Deux méthodes s'offrent à toi:


    1) Tu peux remarquer que les coordonnées d'un point P de ton cercle trigonométrique et celle du point \( (P+\pi) \) sont simplement opposées. Tu peux en comprendre la raison d'un point de vue géométrique en regardant la figure publiée par Alain (on fait exactement un demi-tour).

    Par exemple, si on prend le point \( \pi/6 \) et le point \(7\pi/6\) (qui correspond à (\( \pi/6+\pi\) ), on voit que les coordonnées sont simplement opposées:

    $$P(\pi/6)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$$

    $$P(7\pi/6)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$$


    Ainsi, tu peux automatiquement savoir que la coordonnée en x de \( P(A+\pi) \) est -3/4.


    Pour trouver la coordonnée en y il ne te reste alors plus qu'à trouver la valeur de \( \sin A\) et d'ajouter un signe négatif.


    2) Seconde méthode:


    Si tu oublies qu'en ajoutant \( \pi\) à ton point il suffit de changer les signes de ton cosinus et de ton sinus, il t'est tout de même possible de trouver ta réponse.


    Dans un premier temps, il faudra que tu additionnes \(\pi\) à la valeur de A. Appelons le résultat de cette somme N.


    Tu pourras ensuite trouver la coordonnées en x de \(P(A+\pi)\) en faisant:


    $$ \cos N = x $$


    Pour trouver la coordonnée en y, rappelle-toi que l'axe des y correspond à l'axe des sinus. Ainsi, on a:

    $$ \sin N = y $$


    Enfin, pour le second numéro, tu peux suivre la seconde méthode. Toutefois, le chemin le plus rapide est de remarquer que lorsqu'on soustrait \( \pi/2 \) (on fait un tour de 90° en sens horaire), cela revient toujours à inverser les coordonnées (le sinus devient le cosinus et vice-versa) et à modifier le signe du cosinus initial (alors devenu sinus).


    Par exemple, prenons le point \( (\pi/3)\), et le point \((\pi/3-\pi/2)\).

    On a donc \(P(\pi/3)\) et \(P(-\pi/6)\). Or, \(P(-\pi/6)=P(11\pi/6)\).


    Ainsi, on a:

    $$P(\pi/3)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$$

    $$P(-\pi/6)=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$$


    Tu peux donc tout de suite savoir que la coordonnée en y de \(P(A-\pi/2)\) sera égale à -3/4 (le cosinus devient sinus et on change son signe).


    Pour trouver la coordonnée en x, il te suffira de prendre le sinus de A (car le sinus initial devient le cosinus).

  • Options
    1a May 2021 modifié

    bonjour,

    On sait que cos²A+sin²A=1.

    On a cosA=3/4, on calcule sinA et on retient la valeur négative car le point est dans le 4e quadrant.


    Voici un cercle pour t'aider à situer les points.

    cercle-trig r+pi sur 2_v2.jpg

    Note: c'est une figure que j'utilise pour d'autres problèmes alors il y a des lignes superflues.