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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 3 • 1a

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour comprendre ce problème.

"Pour visiter un musée d'histoire naturelle, il en coûte 100$ pour un groupe de 5 enfants et 7 adultes. Il en coûte également 92$ pour un groupe de 7 enfants et 5 adultes. Détermine le prix d'un billet pour enfant et celui d'un billet pour adulte."


Variables que j'ai choisies:

x: prix d'un billet enfant ($)

y: prix d'un billet adulte ($).

Début de démarche:

  1. 100 = 5x + 7y
  2. 92 = 7x + 5y

Je suis bloquée là :/


Merci d'avance pour votre réponse

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a March 2021 modifié

    Bonjour Leylah!

    Dans un système d'équation comme celui-ci, tu peux utiliser 3 méthodes pour le résoudre et trouver les valeurs des variables: la méthode de comparaison, de réduction et de substitution.

    1) Méthode de comparaison

    Pour utiliser celle-ci, tu dois d'abord isoler la même variable dans chacune de tes équations. Par exemple, tu pourrais isoler le y.

    Comme la valeur du y sera la même pour les équations, on peut poser que y = y, et ensuite remplacer chacun des y par leur expression algébrique respective. Tu pourras ensuite isoler l'autre variable! Voici un exemple:

    $$ 100=5x+7y\Rightarrow 100-5x = 7y \Rightarrow y = \frac {100-5x} {7} $$

    $$ 92=7x+5y\Rightarrow 92-7x = 5y \Rightarrow y = \frac {92-7x} {5} $$

    $$ y = y \Rightarrow \frac {100-5x} {7} = \frac {92-7x} {5} $$

    $$ 5 \times (100 - 5x) = 7 \times (92-7x) $$

    $$ 500 - 25x = 644 - 49x $$

    Ici, tu peux isoler le x pour trouver sa valeur.

    2) Méthode de réduction

    Dan cette méthode, on soustrait les équations où l'une des variables a le même coefficient dans les deux équations, par exemple si la variable x possède le coefficient 2 à la fois dans l'équation (1) et (2).

    Si aucune des variables ne possède le même coefficient, on peut multiplier ou diviser les équation pour que cela devienne le cas.

    Dans ton exemple, tu pourrais multiplier l'équation (1) par 7 et l'équation (2) par 5, pour que le coefficient de la variable x soit 35 dans les deux équations. Voici un exemple:

    $$ (7) \times 100=5x+7y \Rightarrow 700 = 35x + 49y $$

    $$ (5) \times 92 = 7x+5y \Rightarrow 460 = 35x + 25y $$

    Comme la variable x a le même coefficient dans les équation, on peut soustraire l'équation (2) de l'équation (1); cela permet d'éliminer la variable x. On peut par la suite isoler le y!

    $$ \begin{align}(700 = 35x + 49y) \\- (460 = 35x + 25y)\\ =( 240 = 0x +24y) \end{align}$$

    3) Méthode de substitution

    Cette méthode peut être utilisée si une variable est isolée dans l'une des équations. On peut alors substituer cette variable dans la seconde équation par l'expression algébrique qui lui correspond. Cela permet ensuite d'isoler l'une des variables.

    Si nous prenons la variable y isolée, comme dans l'exemple de la méthode (1), et que nous remplacerions le y dans l'équation (2) par l'expression algébrique correspondant au y en (1), nous pourrions ensuite isoler la variable x. Voici un exemple:

    $$ Équation\ 1:\ y = \frac {100-5x} {7} $$

    $$ Équation\ 2:\ 92=7x+5y $$

    $$ 92 = 7x + 5\times \frac {100-5x} {7} \Rightarrow 92 = 7x + \frac{500}{7} - \frac{25x}{7} $$

    $$ \Rightarrow 92 - \frac{500}{7} = 7x - \frac{25x}{7} $$

    Tu peux alors isoler le x!

    Dans toutes ces méthodes, lorsque tu as trouvé la valeur de l'une des deux variables, tu peux trouver l'autre en remplaçant la variable connue par sa valeur dans l'une de tes équations de départ! Si par exemple tu trouves que x = 5, alors tu peux trouver y comme ceci:

    $$ 100 = 5x + 7y \Rightarrow 100 = 5\times 5 + 7y $$

    $$ \Rightarrow 100 - 25 = 7y \Rightarrow y = \frac {75}{7} $$

    Voici un lien provenant de notre site qui explique en détail toutes les méthodes de résolution de systèmes d'équations:

    J'espère que cela t'aidera à compléter ton devoir! Bonne chance et n'hésite pas à poser d'autres questions au besoin 🙂