Zone d’entraide

LionAimable8726

Pourquoi l'aire totale d'une demi-sphère est 3πr2 et non 2πr2. Me semble que l'aire d'une sphère est de 4πr2, il faut pas juste diviser par 2?

Amayas K

Merci pour ton excellente question!

Tu as tout à fait raison de soulever que la formule de l'aire d'une sphère est:

$$A = 4πr^2$$

Tu as également une bonne intuition en divisant par 2 l'aire d'une sphère pour obtenir l'aire d'une demi-sphère. Tu obtiens alors:

$$A = 2πr^2$$

Mais il ne faut pas oublier que la demi-sphère fermée, possède aussi une base sous forme de disque. L'aire du disque (le cercle qui se trouve sous ta demi-sphère) doit donc être incluse dans le calcul de l'aire totale. Ce que tu as trouvé c'est l'aire latérale d'une demi-sphère fermée.

Donc:

$$A latérale = 2πr^2$$

Pour trouver l'aire de la demi-sphère fermée, il faut additionner à l'aire latérale de la demi-sphère, l'aire de sa base (du disque):

A totale = A latérale + A base

A totale = 1/2 A sphère + A disque

Or, on sait que l'aire d'un cercle (disque) est:

$$A = πr^2$$

On a donc comme aire totale de la demi-sphère fermée:

$$A totale = 2πr^2 + πr^2$$

Ainsi, l'aire d'une demi-sphère fermée est de :

$$A = 3πr^2$$

Voici un lien où tu pourras, au besoin, trouver davantage d'informations sur la demi-sphère.

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/l-aire-d-une-sphere-et-le-volume-d-une-boule-m1486