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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 3 • 1a

Pourquoi l'aire totale d'une demi-sphère est 3πr2 et non 2πr2. Me semble que l'aire d'une sphère est de 4πr2, il faut pas juste diviser par 2?

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a March 2021 modifié

    Merci pour ton excellente question!

    Tu as tout à fait raison de soulever que la formule de l'aire d'une sphère est:

    $$A = 4πr^2$$

    Tu as également une bonne intuition en divisant par 2 l'aire d'une sphère pour obtenir l'aire d'une demi-sphère. Tu obtiens alors:

    $$A = 2πr^2$$

    Mais il ne faut pas oublier que la demi-sphère fermée, possède aussi une base sous forme de disque. L'aire du disque (le cercle qui se trouve sous ta demi-sphère) doit donc être incluse dans le calcul de l'aire totale. Ce que tu as trouvé c'est l'aire latérale d'une demi-sphère fermée.

    Donc:

    $$A latérale = 2πr^2$$

    Pour trouver l'aire de la demi-sphère fermée, il faut additionner à l'aire latérale de la demi-sphère, l'aire de sa base (du disque):

    A totale = A latérale + A base

    A totale = 1/2 A sphère + A disque


    Or, on sait que l'aire d'un cercle (disque) est:

    $$A = πr^2$$


    On a donc comme aire totale de la demi-sphère fermée:

    $$A totale = 2πr^2 + πr^2$$

    Ainsi, l'aire d'une demi-sphère fermée est de :

    $$A = 3πr^2$$


    Voici un lien où tu pourras, au besoin, trouver davantage d'informations sur la demi-sphère.

    https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/l-aire-d-une-sphere-et-le-volume-d-une-boule-m1486