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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 1m

Je suis bloqué dans la résolution d'un logarithme qui doit donné le nombre d'or. L'équation au départ est

4^x +6^x= 9^x après avoir développé, je suis rendu à

log en base 3/2 de ((2/3)^x +1) = x

Qu'est ce que je devrais faire ensuite?

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1m 27 Feb modifié

    Salut!


    Le résultat de l'équation \(4^x +6^x= 9^x\) n'est pas le nombre d'or! Voici le nombre d'or :

    image.png


    Et voici comment résoudre cette équation :

    $$ 4^x +6^x= 9^x $$

    Nous allons commencer par diviser chaque côté de l'équation par \(4^x\):

    $$ \frac{4^x}{4^x} +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$

    $$ 1 +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$


    À l'aide de cette loi des exposants :

    image.png

    Nous allons affecter les exposants x sur la fraction complète :

    $$ 1 +(\frac{6}{4})^x= (\frac{9}{4})^x $$


    On réduit la fraction 6/4 en une fraction irréductible :

    $$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{9}{4})^x $$


    Puisque 9=3² et 4=2², nous pouvons écrire :

    $$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3^2}{2^2})^x $$

    $$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3}{2})^{2x} $$


    On déplace tous les termes du même côté de l'équation :

    $$ 0= (\frac{3}{2})^{2x} -(\frac{3}{2})^x-1$$

    On a alors une équation de second degré! Pour mieux le voir, posons la variable \(u=(\frac{3}{2})^x\) :

    $$ 0= u^{2} -u-1$$

    On peut utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation. Je te laisse le faire. Le résultat sera alors :

    $$ u = \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$


    On peut remettre la valeur de u dans l'équation :

    $$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$


    Finalement, on utilise la définition d'un logarithme pour isoler x dans cette équation.

    image.png

    Ce qui nous donne :

    $$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

    $$ x= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1±\sqrt{5}}{2})$$


    On divise l'équation en deux :

    $$ x_{1}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$

    $$ x_{1}=log_{\frac{3}{2}}(nombre ~d'or)$$

    $$ x_{1}≈ 1,18681$$

    et

    $$ x_{2}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})$$

    $$ x_{2}≈ log_{\frac{3}{2}}(-0,618)$$

    On s'arrête, puisque le logarithme d'un nombre négatif est indéfini!


    Le résultat est donc x ≈ 1,18681


    J'espère que c'est plus clair pour toi! :)

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