Zone d’entraide

GoyaveGamma7074

Je suis bloqué dans la résolution d'un logarithme qui doit donné le nombre d'or. L'équation au départ est

4^x +6^x= 9^x après avoir développé, je suis rendu à

log en base 3/2 de ((2/3)^x +1) = x

Qu'est ce que je devrais faire ensuite?

Katia K

Salut!

Le résultat de l'équation \(4^x +6^x= 9^x\) n'est pas le nombre d'or! Voici le nombre d'or :

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Et voici comment résoudre cette équation :

$$ 4^x +6^x= 9^x $$

Nous allons commencer par diviser chaque côté de l'équation par \(4^x\):

$$ \frac{4^x}{4^x} +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$

$$ 1 +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$

À l'aide de cette loi des exposants :

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Nous allons affecter les exposants x sur la fraction complète :

$$ 1 +(\frac{6}{4})^x= (\frac{9}{4})^x $$

On réduit la fraction 6/4 en une fraction irréductible :

$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{9}{4})^x $$

Puisque 9=3² et 4=2², nous pouvons écrire :

$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3^2}{2^2})^x $$

$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3}{2})^{2x} $$

On déplace tous les termes du même côté de l'équation :

$$ 0= (\frac{3}{2})^{2x} -(\frac{3}{2})^x-1$$

On a alors une équation de second degré! Pour mieux le voir, posons la variable \(u=(\frac{3}{2})^x\) :

$$ 0= u^{2} -u-1$$

On peut utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation. Je te laisse le faire. Le résultat sera alors :

$$ u = \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

On peut remettre la valeur de u dans l'équation :

$$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Finalement, on utilise la définition d'un logarithme pour isoler x dans cette équation.

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Ce qui nous donne :

$$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

$$ x= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1±\sqrt{5}}{2})$$

On divise l'équation en deux :

$$ x_{1}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$

$$ x_{1}=log_{\frac{3}{2}}(nombre ~d'or)$$

$$ x_{1}≈ 1,18681$$

et

$$ x_{2}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})$$

$$ x_{2}≈ log_{\frac{3}{2}}(-0,618)$$

On s'arrête, puisque le logarithme d'un nombre négatif est indéfini!

Le résultat est donc x ≈ 1,18681

J'espère que c'est plus clair pour toi! :)