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DauphinEfficace6768

Je cherche la valeur de x c’est possible avec ses infos. Je sais que je dois faire la loi de cosinus et ensuite cela me donner un équation du 2e degré. Je n’arrive cependant pas à appliquer cela pouvez vous m’aider?

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Katia K

Salut!

En appliquant la loi des cosinus à ce triangle

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Nous obtenons ceci :

$$(x+1)^2=x^2+(2x)^2-2(x)(2x) cos(60)$$

On peut commencer par développer (x+1)² :

$$x^2+2x+1=x^2+(2x)^2-2(x)(2x) cos(60)$$

Puis, on distribue l'exposant 2 dans (2x)²

$$x^2+2x+1=x^2+4x^2-2(x)(2x) cos(60)$$

et on multiplie les facteurs 2, x et 2x :

$$x^2+2x+1=x^2+4x^2-4x^2 cos(60)$$

On ramène tous les termes du côté droit de l'équation :

$$0=x^2+4x^2-4x^2 cos(60)-x^2-2x-1$$

On simplifie +x² et -x² :

$$0=4x^2-4x^2 cos(60)-2x-1$$

On peut factoriser 4x² :

$$0=4x^2(1-cos60) -2x-1$$

$$0=4(1-cos60)x^2 -2x-1$$

$$0=7,8097x^2 -2x-1$$

Tu peux aussi sauter l'étape précédente et continuer tes calculs en gardant le coefficient 4(1-cos60) afin d'avoir un résultat plus précis à la fin, c'est comme tu veux.

Finalement, puisque nous avons une équation de second degré, on peut utiliser la formule quadratique pour trouver x :

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$$ x_{1,2} = \frac{-(-2) ± \sqrt{(-2)^2-4(7,8097)(-1)}}{2(7,8097)}$$

Et on résout!

$$ x_{1,2} = \frac{2 ± \sqrt{4-4(7,8097)(-1)}}{2(7,8097)}$$

$$ x_{1,2} = \frac{2 ± \sqrt{4+4(7,8097)}}{15,6193}$$

$$ x_{1,2} = \frac{2 ± \sqrt{4+31,2386}}{15,6193}$$

$$ x_{1,2} = \frac{2 ± \sqrt{35,2386}}{15,6193}$$

$$ x_{1,2} = \frac{2 ± 5,9362}{15,6193}$$

On sépare notre équation en deux équations, une avec le signe positif et l'autre avec un signe négatif :

$$ x_{1} = \frac{2 + 5,9362}{15,6193}$$

et

$$ x_{2} = \frac{2 - 5,9362}{15,6193}$$

Et on termine la résolution pour chaque équation. Puisque x représente une mesure de côté, alors tu peux éliminer le résultat négatif, puisqu'il est impossible qu'un triangle ait une mesure négative.

Je te laisse continuer. J'espère que c'est plus clair pour toi! :)

FerUpsilon5520

Avec la loi des sinus:

sin 60º / (x+1) = sin β / 2x = sin θ / x

et bien sûr

180 = 60° + β + θ

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Avec la loi des cosinus:

(x + 1)² = x² + (2x)² - 2x(2x)cos 60º

x² + 2x + 1 - x² - 4x² + 4x²cos 60º = 0

note que cos 60º = 1/2 (voir le cercle trigonométrique)

2x + 1 - 2x² = 0

applique la formule

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Une seule des deux valeurs s'applique.