Secondaire 5 • 8j
Salut!
Est-ce que quelqu'un peut m'aider à résoudre cette équation et m'expliquer comment?
2(cos (x))^2 - cos(x) = 3 si x= [-3pi , 0 ]
La réponse dans le corrigé de la prof est x={-3pi , -pi}
Bonsoir ElfeFantastique7510 😊
Ne t'en fais pas, les cosinus sont dure à comprendre au début!
L’idée clé ici est de transformer l’équation trigonométrique en une équation algébrique simple.
On part de 2(cosx)^2-cosx = 3 et on regroupe tout du même côté. On obtient donc 2(cosx)^2-cosx-3=0
Ici on peut donc faire une substitution. On pose u=cosx. L'équation devient alors 2u^2-u-3=0. Cette équation est de la forme d'une fonction polynomiale de degré deux, on peut donc la traité de la même façon qu'on le ferait dans le cas d'une fonction polynomiale.
En factorisant on obtient: (2u-3)(u+1)=0. Ainsi, u=3/2 ou u=-1.
On revient maintenant à cosx. Comme le cosinus d’un angle est toujours compris entre −1 et 1, la valeur 3/2 est impossible. Il reste donc seulement cosx=−1.
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus vaut −1 lorsque l’angle correspond à un point complètement à gauche du cercle, c’est-à-dire pour les angles de la forme x=π+2k, où k est un entier.
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Il ne reste qu’à vérifier quels angles de cette forme se trouvent dans l’intervalle [−3π,0][−3π,0].
Si on prend k=−2k, on obtient x=−3π.
Si on prend k=−1, on obtient x=−π.
Ces deux valeurs sont bien dans l’intervalle demandé.
Donc, la solution finale est bien x∈{−3π, −π}
En espérant que ceci te débloquera. Si jamais tu as d'autres questions, n'hésite surtout pas!
Mélodie 🎶
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