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Salut!

Une situation de proportionnalité est une relation entre deux variables qui varient de manière proportionnelle l'une par rapport à l'autre. En d'autres mots, lorsque l'une des variables augmente (ou diminue), l'autre augmente (ou diminue) également de manière proportionnelle. Par exemple, si le nombre d'heures travaillées augmente, le salaire gagné augmente proportionnellement.

Lorsque l'on a une situation directement proportionnelle, les valeurs de y augmente selon un taux équivalent. Par exemple, dans cette table des valeurs, on doit multiplier x par 4 pour obtenir la valeur en y. On augmente donc de 4 entre chacune des valeurs de y.

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Graphiquement, on peut représenter une relation directement proportionnelle par une droite.

Une situation de proportionnalité inverse, également appelée variation inverse, se produit lorsque deux variables varient de manière inversement proportionnelle l'une par rapport à l'autre. Cela signifie que lorsque l'une des grandeurs augmente, l'autre diminue proportionnellement, et vice-versa. Par exemple, plus il y a d'ouvriers dans un chantier, moins la durée nécessaire pour construire un bâtiment sera grande. Mathématiquement, cela peut être représenté par l'équation y = k/x, où k est une constante.

Ainsi, pour une situation inversement proportionnelle, on peut multiplier x par y et on obtiendra toujours le même résultat, ici 66.

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En d'autres mots, dans une situation inversement proportionnelle, pour chaque couple de la table de valeurs, si on multiplie la valeur de x par celle de y, on obtient toujours le même nombre, le même produit, ce qu'on appelle le produit constant.

Graphiquement, on peut représenter une relation inversement proportionnelle par une courbe qui tend vers des droites (appelées des asymptotes) sans jamais les toucher.

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Voici des fiches d'Alloprof qui te permettront de mieux comprendre le sujet:

• https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/reconnaitre-une-situation-directement-ou-inverseme-m1428
• https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-resolution-de-situations-directement-ou-invers-m1429
• https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-situations-de-proportionnalite-m1065

En résumé, si l'augmentation de la variable indépendante entraine l'augmentation de la variable dépendante (ou si la diminution de la variable indépendante entraine la diminution de la variable dépendante), alors on a une situation directement proportionnelle.

À l'inverse, si l'augmentation de la variable indépendante entraine la diminution de la variable dépendante (ou si la diminution de la variable indépendante entraine l'augmentation de la variable dépendante), alors on a une situation inversement proportionnelle.

J'espère que cela t'aide! Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à nous réécrire! :)

Je vais t'expliquer les proportions directes et inverses, ainsi que leur représentation sur des graphiques, de manière simple :

1. Proportion directe :

Dans une proportion directe, deux grandeurs augmentent ou diminuent ensemble. Autrement dit, quand l'une des quantités augmente, l'autre augmente aussi proportionnellement.

• Formule mathématique :
• y=k⋅xy = k \cdot xy=k⋅x (où kkk est une constante).
• Exemple : Si tu achètes plus de pommes, tu paies plus cher. Si une pomme coûte 2 €, alors si tu en achètes 3, tu paieras 6 € (3 pommes × 2 €/pomme = 6 €).
• Graphique :
• Sur un graphique, une proportion directe est représentée par une ligne droite qui part du point (0,0) et monte en diagonale. Plus la constante kkk est grande, plus la pente de la ligne est raide.

2. Proportion inverse :

Dans une proportion inverse, quand une grandeur augmente, l'autre diminue proportionnellement. C'est l'opposé de la proportion directe.

• Formule mathématique :
• y=kxy = \frac{k}{x}y=xk​ (où kkk est une constante).
• Exemple : Si 4 personnes construisent une maison en 10 jours, alors 2 personnes prendraient 20 jours pour faire le même travail. Plus il y a de personnes, moins de temps il faudra pour terminer la tâche.
• Graphique :
• Sur un graphique, une proportion inverse est représentée par une courbe descendante qui ne touche jamais les axes. La courbe diminue plus rapidement au début, puis elle devient plus plate à mesure que xxx augmente.

Visualisation sur un graphique :

• Proportion directe : Graphique :Une droite diagonale qui part du point (0,0) et monte reˊgulieˋrement.\text{Graphique :} \quad \text{Une droite diagonale qui part du point (0,0) et monte régulièrement.}Graphique :Une droite diagonale qui part du point (0,0) et monte reˊgulieˋrement.
  • Cela montre que chaque augmentation de xxx entraîne une augmentation de yyy à un rythme constant.
• Proportion inverse : Graphique :Une courbe qui descend en se rapprochant de l’axe des x, mais sans jamais l’atteindre.\text{Graphique :} \quad \text{Une courbe qui descend en se rapprochant de l'axe des x, mais sans jamais l'atteindre.}Graphique :Une courbe qui descend en se rapprochant de l’axe des x, mais sans jamais l’atteindre.
  • Cela montre que lorsque xxx augmente, yyy diminue.

Salut!

C'est parce que, lorsqu'on divise un nombre avec un nombre négatif, ce dernier subit un changement de signe. Il faut lui inverser son signe (ex: diviser un nombre positif par un nombre négatif = réponse négatif). Donc, nbr+/nbr- = nbr- et nbr-/nbr- = nbr+.

Dans ce même sens, lorsqu'on divise les nombres d'une inéquation par un nombre négatif, le signe de l'inéquation (le symbole) subit également un inversement de signe, d'où le corrigé.

Je te donne un exemple:

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Dans l'exemple, on voit clairement que, une fois qu'on divise l'inéquation par -1 pour isoler le 1, l'inéquation initiale s'inverse. 1 devient supérieur à -2. Au final, l'inéquation initiale n'est plus vraie donc il faut inverser le signe "inférieur" pour "supérieur.

J'espère que ça t'aide un peu! :D

Salut!

La variation fait référence à la croissance et à la décroissance d'une fonction.

La croissance est l'intervalle en x pour lequel la courbe est croissante, c'est-à-dire que plus on avance dans l'axe des x, plus la valeur en y augmente. Voici un exemple :

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Pour ton exercice, la fonction est strictement croissante sur cet intervalle :

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Et croissante sur cet intervalle (on ajoute la partie constante) :

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Tu dois unir tes portions d'intervalles à l'aide du symbole d'union ∪. Par exemple, l'intervalle où la fonction est croissante est : [0, 3] ∪ [8, 12] ∪ [15, 19].

Je t'invite à consulter la fiche suivante, on y explique justement les différentes propriétés des fonctions : Les propriétés des fonctions | Secondaire | Alloprof

Je te laisse essayer avec ces indices. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à nous réécrire! :)