Postsecondary • 6mo.
Bonjour, j’aurai une question concernant un problème de modélisation qu’on fait en math. J’ai de la misère à résoudre ce problème
: Si on inscrit un cylindre circulaire droit dans un cône de hauteur 4.5 et de rayon 5.5, quelles seraient les dimensions du cylindre dont le volume est maximal?
Merci!
Tu peux aussi faire le cas ou le cylindre est inscrit dans une dôme parabolique d'équation y=10-x²
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On fait une coupe du cône et du cylindre
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Tout point du cône appartient à une droite oblique
y=mx+p
pour x=0 on est sur le sommet B(0, 4.5)
y=m 0+4.5 -----, y=4.5
le point A(5.5, 0) appartient à la droite
0=m5.5+4.5 ------, m=-4.5/5.5
la droite a pour équation y=(-4.5/5.5)x+4.5
Le cylindre inscrit a pour rayon x et pour hauteur h(x)=(-4.5/5.5)x+4.5
le volume du cylindre est:
V(x)=pi x²h(x)
V(x)=pi x²((-4.5/5.5)x+4.5)
Tu peux étudier la fonction V(x) pour x entre [0, 5.5]
j'ai fait le graphique. sur desmos
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il y a un sommet autour de 3.667
V(x)=pi ((-4.5/5.5)x³+4.5x²)
V'(x)=pi((-3 4.5/5.5)x²+2 4.5 x)
V'(x)=pi x ((-3 4.5/5.5 )x+2 4.5)
V'(x)=0 ----, x=0 ou ((-3 4.5/5.5 )x+2 4.5)=0
V'(x)=0 ----, x=0 ou x=2 5.5 /3=3.6666
pour x [0, 3.6666] V'(x) positif ou nul
pour x [3.6666, 5.5] V'(x) négatif ou nul
pour x=11/3 on a un extremum
V(11/3)= 121 Pi/6=63.44