Secondary I • 1mo.
Comment puis-je transformer les nombres suivants dans les bases ci-dessous? Je ne comprend toujours pas comment faire.
Comment puis-je transformer les nombres suivants dans les bases ci-dessous? Je ne comprend toujours pas comment faire.
Explanation from Alloprof
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Salut!
Pour le premier numéro, pour convertir les nombres donnés dans des bases différentes en base 10, il faut utiliser la valeur positionnelle.
Le nombre 425 en base 10 peut se décomposer comme ceci :
$$5 = 5 × 10^0$$
$$20 = 2 × 10^1$$
$$400 = 4 × 10^2$$
En additionnant le tout, on obtient notre nombre de départ : 400 + 20 + 5 = 425
Ainsi, pour décomposer n'importe quel nombre, on peut trouver la valeur de chaque chiffre composant ce nombre, puis additionner toutes les valeurs. Pour trouver la valeur d'un chiffre dans un nombre, on suit cette formule :
$$ valeur~du~chiffre~dans~le~nombre = chiffre \times base^{position~du~chiffre} $$
d'où \(425 =(4 \times 10^2) + (2 \times 10^1) + (5 \times 10^0)\), puisqu'on est en base 10.
Super important, on commence à compter les positons des chiffres à partir de 0, et non 1. En d'autres mots, le chiffre 5 dans le nombre 425 est à la position 0, le chiffre 2 est à la position 1, et le chiffre 4 est à la position 2.
En suivant ce principe, on peut convertir un nombre dans une autre base en un nombre en base 10. Voici comment faire pour chaque nombre :
$$ 325_{(6)}$$
Le nombre 325 en base 6 peut se décomposer comme ceci :
$$ 3 \times 6^2 $$
$$2 \times 6^1 $$
$$5 \times 6^0$$
En additionnant le tout, on obtient le nombre équivalent en base 10 :
$$ 325_{(6)} = [(3 \times 6^2 ) + (2 \times 6^1) + (5 \times 6^0)]_{(10)}$$
$$ 325_{(6)} = [(108) + (12) + (5)]_{(10)}$$
$$ 325_{(6)} = 125_{(10)}$$
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$$ 1258_{(9)}$$
Le nombre 1258 en base 9 peut se décomposer comme ceci :
$$ 1 \times 9^3 $$
$$ 2 \times 9^2 $$
$$5\times 9^1 $$
$$8 \times 9^0$$
En additionnant le tout, on obtient le nombre équivalent en base 10 :
$$ 1258_{(9)} = [(1 \times 9^3 ) +(2 \times 9^2 ) + (5 \times 9^1) + (8 \times 9^0)]_{(10)}$$
$$ 1258_{(9)} = [(729) + (162) + (45) + (8)]_{(10)}$$
$$ 1258_{(9)}= 944_{(10)}$$
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$$ 38541_{(5)}$$
Il y a une erreur dans ce numéro! Il est impossible d'avoir le nombre 38541 en base 5, puisque dans cette base, seuls les chiffres 0, 1, 2, 3 et 4 existent. Il n'existe pas de chiffre 5 ni de chiffre 8 en base 5.
Le nombre 38541 n'existe donc pas pour une base 5, ni pour une base 6, ni pour la 7, ni pour la 8. Il peut seulement exister pour une base 9 et plus.
Concernant le second numéro, nous devons utiliser la méthode de la division successive.
$$625_{(10)}$$
On divise 625 par 4 successivement, et le reste de chaque division nous donnera les chiffres composant le nombre en base 4 :
$$ 625 \div 4 = 156 ~reste~1 $$
$$ 156 \div 4 = 39 ~reste~0 $$
$$ 39 \div 4 = 9 ~reste~3 $$
$$ 9 \div 4 = 2 ~reste~1 $$
$$ 2 \div 4 = 0 ~reste~2 $$
Donc, 625 en base 10 est équivalent à 21301 en base 4.
$$ 625_{(10)}=21301 _{(4)}$$
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$$3245_{(10)}$$
On divise 3245 par 8 successivement, et le reste de chaque division nous donnera les chiffres composant le nombre en base 8 :
$$ 3245 \div 8 = 405 ~reste~5 $$
$$ 405 \div 8 = 50 ~reste~5 $$
$$ 50 \div 8 = 6 ~reste~2 $$
$$ 6 \div 8 = 0 ~reste~6 $$
Donc, 3245 en base 10 est équivalent à 6255 en base 8.
$$ 3245_{(10)}= 6255_{(8)}$$
Pour convertir les nombres \(5421_{(6)}\) et \(322_{(4)}\) en base 5, tu dois commencer par les convertir en base 10 en utilisant la méthode de la valeur des positions décrite au premier numéro, puis tu pourras alors les convertir en base 5 à l'aide de la méthode de la division successive décrite dans ce second numéro. Tu peux ensuite vérifier tes réponses obtenues à l'aide de ce site : Convertisseuse de base
Voici une fiche sur cette notion qui pourrait t'être utile : Les systèmes de numération | Secondaire | Alloprof
J'espère que cela t'aide! :)