Zone d’entraide

OpaleTurquoise456

Bonjour,

Je ne comprends pas comment résoudre une équation sinus. Plus spécifiquement, lorsqu'elle se sépare en 2.

Merci.

LapinExtraordinaire9010

Bonjour à toi,

Tout d'abord, je te remercie d'avoir pris le temps de nous écrire aujourd'hui. Résoudre une équation sinus, c'est isoler la variable (souvent X), quand on a un "sin(...)" dans notre démarche.

Pour cela, une fois qu'il est temps de faire "sin-1" pour annuler l'opération sinus, il faut d'abord vérifier si ce à quoi on va faire "sin-1" qui est sans la variable algébrique est entre -1 et 1 (ou égal à ces valeurs). Si on a un cas du style +-1 = sin(...), alors, on n'aura qu'une seule équation s'en découlant, avec une valeur de +-π/2 à gauche, le signe suivant celui du "1" plus haut.

Si notre valeur est entre -1 et 1, c'est là qu'il faudra passer d'une équation en une partie à deux parties différentes dans nos calculs. On fait ceci, car il y a 2 angles différents sur le cercle trigonométrique qui partagent une même valeur de sinus. En effet, pour un angle thêta (Θ), on a l'équivalence sin(Θ)=sin(pi-Θ), comme démontré ici-bas (source : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/resoudre-une-equation-ou-une-inequation-sinus-m1409).

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

Ainsi, cela s'explique par le fait que sinus rime avec coordonnée en Y d'un point trigonométrique. En raison de la forme du cercle, il y aura presque toujours 2 points autour de celui-ci qui auront la même hauteur, sauf au maximum (π/2) et au minimum (-π2 ou 3π/2).

Le troisième cas sera celui où on a une valeur à l'extérieur de -1 et 1 là où il n'y a pas de "sinus". Alors, on n'aurait pas de réponse dans ce cas.

Enfin, je conclus en spécifiant que les sinus sont périodiques, donc on a souvent besoin d'exprimer nos réponses à ces équations en précisant qu'elles se répètent à chaque période et ce, pour n'importe quel nombre entier de périodes.

En espérant que cela te soit utile et n'hésite pas à nous réécrire si jamais :) !

Katia K

Salut!

Voyons cela avec un exemple.

$$14sin3(x+ \pi) = -7$$

On commence par éliminer le facteur 14 en divisant chaque côté par celui-ci :

$$\frac{14sin3(x+ \pi)}{14} = \frac{-7}{14}$$

$$sin3(x+ \pi) = -\frac{1}{2}$$

Ensuite, on doit utiliser notre cercle trigonométrique pour trouver les angles pour lesquels le sinus (la coordonnée en y) est de -1/2 :

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

On trouve ainsi que les angles \(\frac{7\pi}{6}\) et \( \frac{11 \pi}{6}\) ont un sinus de -1/2. Donc, notre angle \(3(x+ \pi)\) doit équivaloir à ces angles, ce qui nous donne ces deux équations :

$$3(x+ \pi) = \frac{7\pi}{6}$$

et

$$3(x+ \pi) = \frac{11 \pi}{6}$$

Il ne reste plus qu'à résoudre chacune de ces équations :

$$3(x+ \pi) = \frac{7\pi}{6}$$

$$\frac{3(x+ \pi)}{3} = \frac{7\pi}{6}\times \frac{1}{3}$$

$$x+ \pi = \frac{7\pi}{18}$$

$$x+ \pi - \pi= \frac{7\pi}{18}- \pi$$

$$x= \frac{7\pi}{18}- \pi$$

$$x= \frac{7\pi}{18}- \frac{18 \pi}{18}$$

$$x= \frac{7\pi-18\pi}{18}$$

$$x= \frac{\pi(7-18)}{18}$$

$$x= \frac{-11\pi}{18}$$

Je te laisse résoudre la deuxième équation :

$$3(x+ \pi) = \frac{11 \pi}{6}$$

Finalement, tu dois identifier la période de la fonction, puis exprimer tes réponses sous la forme suivante :

$$x_{1} + pn, n ∈ ℤ$$

$$x_{2} + pn, n ∈ ℤ$$

où \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont les réponses obtenues lors de la résolution (on a trouvé \(x_{1}= \frac{-11\pi}{18}\), je te laisse trouver \(x_{2}\)), et où \(p\) est la période que tu devras trouver.

\(n\) est simplement un entier qui nous permet de trouver n'importe quelle solution, parce qu'on se rappelle que puisqu'il s'agit d'une fonction périodique, alors il y a une infinité de solutions, \(x_{1}\) et \(x_{2}\) se répète à l'infini dans les cycles suivants et précédents, donc en choisissant un certain nombre entier \(n\) de notre choix, on obtiendra la réponse pour un certain cycle donné.

Je t'invite à consulter la fiche suivante : Résoudre une équation ou une inéquation sinus | Secondaire | Alloprof

Elle présente justement la démarche à suivre pour résoudre des équations sinus.

J'espère que c'est plus clair pour toi! :)