Bonjour,
Je n'arrive à retracer ces deux paraboles dans le graphique:
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Ensuite, je ne ne comprends pas ce qu'il faut faire après avoir trouvé la règle dans ce problème ci:
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La règle que j'ai trouvé est f(x)= -5(x-10)au carré + 600
Puis finalement je n'arrive pas à trouver la règle de ce problème:
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C'est tout je vous souhaite une bonne soirée et merci d'avance!
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Bonjour,
Commençons par la première partie.
Pour tracer des paraboles tu peux t'aider grâce à la fiche explicative suivante:
Je vais quand même te l'expliquer et te guider.
Règle générale, une fonction polynomiale de degré 2 s'écrit ainsi: \(y = ax^{2} + bx + c\).
Tu as l'inéquation \(y > -0,5x^{2} + 2x + 3\).
Pour tracer la fonction, on la met sous la forme \(y = -0,5x^{2} + 2x + 3\), où \(a = -0,5\), \(b = 2\) et \(c = 3\).
Voici les prochaines étapes pour tracez le graphique d'une fonction polynomiale de degré 2 :
1) Le sommet \((h,k)\) se calcule de la manière suivante.
$$\begin{align} (h,k) &= \left( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a}\right) \\ &= \left(- \frac{2}{2 \cdot -0,5}, \frac{4 \cdot -0,5 \cdot 3 - 2^2}{4 \cdot -0,5} \right) \\ &= \left(- \frac{2}{-1}, \frac{-6 - 4}{-2} \right) \\ &= \left( \frac{2}{1}, \frac{-10}{-2} \right) \\ &= \left( 2 , 5 \right) \\ \end{align} $$
2) Les zéros se calculent ainsi.
$$\begin{align} x_{1,2} & =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot -0,5 \cdot 3}}{2 \cdot -0,5} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 6}}{-1}\\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{-1}\\ &= 2\pm \sqrt{10} \\ \end{align} $$
Pour avoir \(x_1\) et \(x_2\), on utilise dans la formule le - pour l'un, le + pour l'autre.
$$ x_1 = 2 - \sqrt{10} \approx -1,1623 $$
$$ x_2 = 2 + \sqrt{10} \approx 5,1623 $$
On a les deux points \((-1,1623; 0)\) et \((5,1623; 0)\).
3) Puisque \(c = 3\) tel que trouvé plus haut, on a le point d'ordonnée à l'origine \((0, 3)\).
4) Pour trouver le point à la même hauteur que l'ordonnée à l'origine, il faut d'utiliser l'axe de symétrie dont l'équation est \(x = h\), donc \(x = 2\) trouvé en 1).
Puisque le premier point est à x=0 et que l'axe de symétrie est \(x = 2\) (ce qui est le milieu), on sait que l'autre point se trouve donc à 2 unités plus loin, donc à \(x = 4\)!
De ce fait, l'autre point a comme coordonnée \((4, 3)\).
5) On sait aussi que lorsque \(a > 0\), les pattes de la courbe pointent vers le haut, le point le plus bas est le sommet. C'est comme le sourire d'un bonhomme content !! 🙂 Lorsque \(a < 0\), les pattes de la courbe pointent vers le bas, la coordonnée la plus haute est le sommet. Comme la bouche d'un bonhomme triste ☹.
Ici, notre \(a = -0,5 < 0\), donc ça pointe vers le bas!
On peut maintenant mettre les points dans un plan cartésien et tracer la fonction.
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Ta question ne portait que sur le dessin de la parabole, mais si jamais tu voulais aussi de l'aide pour résoudre une inéquation de degré 2 tu peux te fier à la fiche suivante:
Pour ton deuxième exercice, le c), tu n'as qu'à suivre les mêmes étapes.
Il est à noter que lorsque la façon dont l'(in)équation est écrite te pose problème, tu peux toujours la faire passer sous une forme à l'aide de quelques trucs.
Dans ton cas, si tu veux résoudre de la même façon que la question précédente, tu peux faire
$$ y < -2x(x-2) $$
$$ y < -2x^2 + 4x $$
Tu peux maintenant faire les manipulations! Voici la parabole que tu devrais obtenir, à titre de validation.
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Peut-être que le rôle des paramètres dans une fonction polynomiale de degré 2 pourrait t'aider aussi:
Ensuite, passons à la deuxième partie de ta question, c'est-à-dire les deux derniers numéros.
Pour le problème 5, j'arrive effectivement à la même règle que toi, bravo!
Tout ce qu'il reste à faire, c'est savoir s'il est possible que l'entreprise ait généré un profit mensuel de 400 00 $ lors de sa cinquième année. En d'autres mots, on cherche lorsque \(x = 5\) (le temps = 5 ans), est-il vrai que \(y = 400\) (profit = 400 000 $) ?
Pour y parvenir, il suffit de remplacer ces valeurs dans la règle trouvée. S'il y a bel et bien égalité des deux côtés, alors il est possible d'affirmer que cela a été possible! Si le résultat est plus grand que 400, on peut confirmer que le profit de 400 000 $ a même été dépassé ! Si le résultat est plus petit, on peut confirmer qu'il a été impossible que l'entreprise atteint les 400 000 $.
Je t'invites donc à trouver, selon ta règle \(f(x) = - 5 ( x - 10)^2 + 600\), si
\(400 = -5 (5-10)^2 + 600\) ?
Quant à la dernière question, le problème 8, un certain nombre y est supérieur à deux nombres impairs consécutifs.
Nous savons que n'importe quoi multiplié par 2 donne un nombre pair. Ainsi, un nombre pair peut s'écrire $$ a_n = 2n $$ où n est un nombre entier.
Pour le rendre impair, il ne suffit que d'ajouter un 1!
$$ a_{n+1} = 2n + 1 $$
Par exemple,
Pour \(n = 0\) : \(2n + 1 = 2(0) + 1 = 1\) impair!
Pour \(n = 1\) : \(2n + 1 = 2(1) + 1 = 3\) impair!
Pour \(n = 2\) : \(2n + 1 = 2(2) +1 = 5\) impair!
Et ainsi de suite …
Alors, le premier nombre est \(2n + 1\) et puisque les deux sont consécutifs, le deuxième est \(2n + 3\).
On observe qu'on n'ajoute pas seulement +1 à cause qu'ils sont consécutifs car on veut seulement les nombres impairs. Si nous ajoutions que 1 au premier nombre, nous nous retrouvions avec un nombre pair ... On veut consécutif, oui, mais qu'ils restent impairs et nous savons que d'un nombre impair à l'autre on fait un bond de 2!
De ce fait, \(y > (2n + 1) x (2n+3)\)
Si tu es plus à l'aise de travailler avec des x que des n, tu peux la transformer comme ceci:
$$ y > (2x + 1)(2x+3) $$
Et voilà la règle!
Bonne continuation!
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