Résoudre une équation ou une inéquation de degré 2

Une équation du second degré à une variable est une équation qui peut être ramenée à la forme |ax^2+bx+c=0| où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|.

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, il n'y a pas de solution.

3. Si |b^2-4ac \geq 0|, on vérifie s'il est aisément possible de factoriser.

4. On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

Soit l'équation |2x^2+9x+5=-4|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant 4 à chaque membre de l'égalité. ||2x^2+9x+5=-4\ \rightarrow\ 2x^2+9x+9=0||

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=9| et |c=9.| ||b^2-4ac=(9)^2-4(2)(9) = 9||
   On peut poursuivre puisque le discriminant est positif.

3. On peut factoriser |2x^2+9x+9| grâce à la méthode du produit-somme. ||2x^2+9x+9=0\ \rightarrow\ (x+3)(2x+3)=0||

4. On applique la règle du produit nul.||x+3 = 0\ \Rightarrow\ x=-3|| ||\text{ou}|| ||2x+3 = 0 \Rightarrow\ x=-\frac{3}{2}||

5. Les deux solutions de l'équation de départ sont donc |-3| et |-\dfrac{3}{2}.|

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0,| si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0,| l'équation n'a aucune solution.

3. On complète le carré.

4. On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

Soit l'équation |2x^2=-3x+5|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant |3x| et en soustrayant |5| de chaque côté de l'égalité. ||2x^2=-3x+5\ \rightarrow\ 2x^2+3x-5=0||

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=3| et |c=-5.| ||b^2-4ac = 3^2-4(2)(-5) = 49||
   On peut poursuivre puisque le discriminant est non nul.

3. On peut factoriser |2x^2+3x-5| en complétant le carré. ||\begin{align} 2x^2+3x-5=0\ &\rightarrow\ 2\left(x+\frac{10}{4}\right)\left(x-\frac{4}{4}\right)=0\\ &\rightarrow\ \left(x+\frac{5}{2}\right)(x-1)=0 \end{align}||

4. On applique la règle du produit nul. ||x + \dfrac{5}{2} = 0\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{5}{2}|| ||\text{ou}|| ||x-1 = 0\ \Rightarrow\ x =1||

5. L'ensemble-solution est |\left\lbrace -\dfrac{5}{2}, 1 \right\rbrace.|

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
   En effet, si |b^2-4ac<0,| l'équation n'a aucune solution.

3. On utilise la formule quadratique |x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.|

4. On donne l'ensemble-solution.

Soit l'équation |x^2-4x-20=0|.

1. L'équation est déjà sous la bonne forme.

2. On calcule le discriminant |b^2-4ac| où |a=1,b=-4| et |c=-20.|
   
   |b^2-4ac= (-4)^2 - 4(1)(-20) = 96|
   On peut donc poursuivre.

3. On utilise la formule quadratique.
   
   |x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{--4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-20)}}{2 \times 1}|
   |x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{96}}{2}|
   On sépare l'équation en deux.
   |x_1 = \dfrac{4 + \sqrt{96}}{2} \approx 6{,}9|
   ou
   |x_2 = \dfrac{4 - \sqrt{96}}{2} \approx -2{,}9|

4. Les solutions sont |-2{,}9| et |6{,}9.|

Une inéquation du second degré à une variable est une inéquation qui peut être ramenée à l'une des formes ci-dessous :

|ax^2+bx+c>0|
|ax^2+bx+c<0|
|ax^2+bx+c \geq 0|
|ax^2+bx + c \leq 0|
|a(x-h)^2+k >0|
|a(x-h)^2+k<0|
|a(x-h)^2+k \geq 0|
|a(x-h)^2+k \leq 0|

où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.

3. Déduire l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.

Soit l'inéquation |-3x^2-5x+7 \geq 2x+1|.

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.

Dans le cas présent, on s'intéresse à la section de la fonction du second degré qui est plus grande ou égale à la fonction linéaire. En raison du signe d'inéquation, les points d'intersection sont représentés par des points pleins.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.

||\begin{aligned}-3x^2-5x + 7 &\geq 2x + 1\\ &\Downarrow\\  -3x^2 - 5x + 7 &= 2x+1 \\-3x^2 - 7x + 6 &=0 \\ -3x^2 -9x + 2x + 6 &= 0 \\ -3x (x + 3) + 2 (x+3) &= 0 \\ (x+3) (-3x + 2) &=0\end{aligned}\\ \begin{alignat}{1}&&&\swarrow \quad \searrow\\ x+3 &= 0 &&\quad \text{OU}\quad -3x+\, &2 &= 0 \\ x &= -3&& &x&= \dfrac{2}{3} \end{alignat}||

Remarque : La méthode de factorisation produit-somme a été utilisée et il n'est pas nécessaire, dans cet exemple, de trouver les valeurs en |y| de chacune des coordonnées.

3. Déterminer l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.

Selon le graphique précédent, on en déduit que les valeurs de |x| doivent se situer dans l'intervalle |\left[-3, \dfrac{2}{3}\right].|

Soit l'inéquation |2(x-1)^2+3<0|.

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.

On peut tout de suite conclure que l'ensemble-solution est vide, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur de |x| qui respectent l'inéquation.

Remarque : Si l'inéquation de départ avait plutôt été |2(x-1)^2+3>0,| alors l'ensemble-solution aurait été l'ensemble des nombres réels, noté |\mathbb{R}.|

1. Transformer l'inéquation pour que le membre de droite soit zéro.

2. Factoriser le trinôme.

3. Déterminer la valeur de |x| qui annule chaque facteur.

4. Bâtir un tableau des signes à 4 rangées et à 6 colonnes.
    - Dans la première colonne, on a |x|, les deux binômes et l'expression algébrique complète.
    - Dans les cases 3 et 5, on place les valeurs de |x| trouvées à l'étape 3 en ordre croissant.
    - On place des |0| sous les valeurs de |x| qui annulent le facteur correspondant.

5. Remplir les rangées 2 et 3 avec des signes |+| et |-| selon la valeur du binôme.

6. Compléter la dernière rangée en multipliant les rangées 2 et 3.

7. Donner l'ensemble-solution.

Soit l'inéquation  |2x^2-10 >-x|.

1. On transforme l'inéquation pour que le membre de droite soit zéro.
   
   |2x^2 -10 > -x \ \ \Rightarrow\ \  2x^2+x-10>0|

2. On factorise le trinôme.
   
   |\begin{align} 2x^2+x-10 &>0\\ 2x^2+5x-4x-10 &>0\\ x(2x+5)-2(2x+5) &>0\\ (2x+5)(x-2)&>0 \end{align}|

3. On détermine la valeur de |x| qui annule chaque facteur.
   
   |\begin{align}2x+5=0 \ \ &\Rightarrow\ \  x_1=-\dfrac{5}{2}\\x-2=0 \ \ &\Rightarrow\ \  x_2=2\end{align}|

4. On bâtit un tableau des signes.

   ​|x|	​	​|-\dfrac{5}{2}|	​	​|2|	​
   ​|2x+5|		​|0|
   ​|x-2|		​		|0|​	​
   ​​|(2x+5)(x-2)|		​			​

5. On remplit les rangées 2 et 3 avec des signes |+| et |-| selon la valeur du binôme.
   
   Pour l'expression |2x+5|, comme le coefficient devant le |x| est positif, il s'agit d'une droite croissante. Donc, la valeur de l'expression est négative avant son zéro |(x_1=-\frac{5}{2})| et positive après. Dans le tableau, on place donc le signe |-| dans la case située avant |-\frac{5}{2}| et le signe |+| dans les cases après.
   
   Pour l'expression |x-2|, la pente est également positive. On place donc le signe |-| dans les cases qui précèdent son zéro |(x_2=2)| et le signe |+| après. 
   
   On a maintenant le tableau suivant :

   ​|x|	​	​|-\dfrac{5}{2}|	​	​|2|	​
   ​|2x+5|	|-|	​|0|	|+|	|+|	|+|
   ​|x-2|	|-|	|-|	|-|	|0|​	|+|
   ​|(2x+5)(x-2)|		​			​

   
   Il y a toujours un changement de signe de part et d'autre d'un zéro. On aurait aussi pu déterminer les signes en calculant la valeur de l'expression avec une valeur |x| au choix (le nombre |0| est souvent un bon choix).

6. On obtient la dernière rangée en multipliant les rangées 2 et 3.
   
   La loi des signes dit que le produit de 2 signes contraires donne un |-,| tandis que le produit de 2 signes identiques donne un |+.| De plus, si on multiplie quoi que ce soit par |0,| on obtient nécessairement |0.|
   
   Le tableau est maintenant complété :

   ​|x|	​	​|-\dfrac{5}{2}|	​	​|2|	​
   ​|2x+5|	|-|	​|0|	|+|	|+|	|+|
   ​|x-2|	|-|	​|-|	|-|	|0|​	|+|
   ​|(2x+5)(x-2)|	|+|	|0|​	|-|	|0|	​|+|

    

7. On donne l'ensemble-solution.
   
   Selon l'inéquation obtenue à l'étape 2, on doit donner l'intervalle de |x| qui fait en sorte que |(2x+5)(x-2)| est positive. De la dernière rangée de notre tableau, on déduit que l'ensemble-solution est |\left]-\infty,-\dfrac{5}{2}\right[\ \cup\ \bigg]2,+\infty\bigg[.|
   
   Les bornes des intervalles sont exclues puisque le signe d'inégalité est |>.|