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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 1a

Bonsoir.

Je dois prouver cette identité, mais je ne suis pas capable. $$cos^2x + tan^2x - 1 = tan^2xsin^2x $$

Pouvez-vous m'aider? Merci.

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a March 2021 modifié

    Salut patateverte, merci pour ta question!

    Avant de commencer je te rappelle les différents chemins possibles pour faire cette démonstration.

    Capture d’écran, le 2021-03-25 à 20.06.31.png

    Pour commencer, il faut changer 1 en $$ sin^2x + cos^2x$$

    On va ensuite avoir $$ cos^2x + tan^2x - ( sin^2x + cos^2x) = tan^2xsin^2x$$

    Si on distribue le - dans la parenthèse on obtient cela: $$cos^2x + tan^2x - sin^2x - cos^2x = tan^2xsin^2x$$ On peut alors simplifier les deux $$ cos^2x$$ Pour avoir ceci: $$ tan^2x - sin^2x = tan^2xsin^2x$$

    On peut transformer$$ tan^2x$$ En $$ \frac{sin^2x}{cos^2x}$$

    Ce qui nous donne $$ \frac{sin^2x}{cos^2x} - sin^2x = tan^2xsin^2x$$

    On peut tout mettre sur un dénominateur commun. Ce qui donne ceci:

    $$\frac{sin^2x + sin^2xcos^2x}{cos^2x} = tan^2xsin^2x$$

    On peut alors mettre $$sin^2x$$ En évidence. On obtient donc

    $$\frac{sin^2x(1 + cos^2x)}{cos^2x} =tan^2xsin^2x$$

    On peut alors remplacer $$ \frac{sin^2x}{cos^2x}$$ Par $$tan^2x$$ Et $$(1 - cos^2x)$$ Par $$sin^2x$$ Ce qui nous donne finalement $$tanx^2sin^2x = tan^2xsin^2x$$

    Voilà pour la démonstration. Je te laisse le lien pour voir la page du site concernant ces notions!

    Thomas T