Zone d’entraide

YakEfficace4227

Bonsoir.

Je dois prouver cette identité, mais je ne suis pas capable. $$cos^2x + tan^2x - 1 = tan^2xsin^2x $$

Pouvez-vous m'aider? Merci.

Thomas T

Salut YakEfficace4227, merci pour ta question! 😁

Avant de commencer, je te rappelle les différents chemins possibles pour faire cette démonstration.

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Pour commencer, il faut changer 1 en

$$ sin^2x + cos^2x.$$

On va, ensuite, avoir

$$ cos^2x + tan^2x - ( sin^2x + cos^2x) = tan^2xsin^2x.$$

Si on distribue le « - » dans la parenthèse, on obtient cela:

$$cos^2x + tan^2x - sin^2x - cos^2x = tan^2xsin^2x.$$

On peut alors simplifier les deux $$ cos^2x$$ pour avoir ceci: $$ tan^2x - sin^2x = tan^2xsin^2x.$$

On peut transformer$$ tan^2x$$ en $$ \frac{sin^2x}{cos^2x},$$

ce qui nous donne $$ \frac{sin^2x}{cos^2x} - sin^2x = tan^2xsin^2x.$$

On peut tout mettre sur un dénominateur commun, ce qui donne ceci:

$$\frac{sin^2x + sin^2xcos^2x}{cos^2x} = tan^2xsin^2x.$$

On peut alors mettre $$sin^2x$$ en évidence. On obtient donc

$$\frac{sin^2x(1 + cos^2x)}{cos^2x} =tan^2xsin^2x.$$

On peut alors remplacer $$ \frac{sin^2x}{cos^2x}$$ par $$tan^2x$$ et $$(1 - cos^2x)$$ par $$sin^2x,$$ ce qui nous donne finalement $$tanx^2sin^2x = tan^2xsin^2x.$$

Voilà pour la démonstration. Je te laisse le lien pour voir la page du site concernant ces notions!

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-demonstration-d-identites-trigonometriques-m1296

N'hésite pas si tu as d'autres questions 😊

Thomas T