Pour démontrer une identité trigonométrique, il faut faire des manipulations algébriques qui permettent de simplifier l’expression. Le but est de prouver que les 2 membres de l’égalité sont identiques.
Voici quelques astuces pour démontrer des identités trigonométriques.
Travailler d’un seul côté de l'égalité.
Transformer les termes en sinus et/ou en cosinus. Cela permet de simplifier l’expression.
Chercher à obtenir une ou plusieurs identités trigonométriques de base.
Mettre les fractions sur le même dénominateur.
Faire des mises en évidence ou d’autres types de factorisation pour simplifier des termes.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué soit du numérateur, soit du dénominateur.
Le tableau suivant présente les stratégies qui sont utilisées pour chacun des 7 exemples qu’on retrouve dans la fiche.
Les stratégies utilisées | Exemple 1 | Exemple 2 | Exemple 3 | Exemple 4 | Exemple 5 | Exemple 6 | Exemple 7 |
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Transformer les rapports en sinus et/ou en cosinus | x | x | x | x | x | x | x |
Transformer les sinus et/ou les cosinus en un autre rapport | x | x | |||||
Utiliser les identités pythagoriciennes | x | x | x | x | x | x | |
Faire une division de fractions | x | x | |||||
Mettre les fractions sur le même dénominateur | x | x | |||||
Utiliser une méthode de factorisation | Mise en évidence simple | Trinôme carré parfait et différence de carrés |
Démontre l'identité suivante.||\sin^2 \theta = 1 - \cot^2 \theta \, \sin^2 \theta||
On réduit le membre de droite.
On débute en développant tout en termes de |\sin| et de |\cos,| puis on simplifie l’expression obtenue.||\begin{align}\sin^2\theta&=1-\cot^2\theta\,\sin^2\theta\\\\\sin^2\theta&=1-\dfrac{\cos^2\theta}{\cancel{\sin^2\theta}}\cancel{\sin^2\theta}\\\\\sin^2\theta&=1-\cos^2\theta\end{align}||En isolant |\sin^2 \theta| à partir de la 1re identité pythagoricienne, on obtient l'égalité |\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta.| On substitue donc |1 - \cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta| dans le membre droit de l’équation. ||\sin^2\theta=\sin^2\theta||Les 2 membres de l’égalité sont donc identiques.
Démontre l'identité suivante.||\dfrac{\sec x}{\cot x} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}||
On travaille sur le membre gauche de l’égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos.|||\begin{align}\dfrac{\sec x}{\cot x} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\ \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||On effectue la division entre les 2 fractions. Diviser par une fraction est équivalent à multiplier par son inverse.||\begin{align}\dfrac{1}{\cos x} \times \dfrac{\sin x}{\cos x} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}&= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||En isolant |\cos^2 x| à partir de l'identité |\cos^2 x + \sin^2 x=1,| on obtient l'égalité |\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.| On substitue donc |\cos^2 x| par |1 - \sin^2 x| dans la fraction.||\begin{align}\dfrac{\sin x}{\color{#3a9a38}{\cos^2 x}} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\\dfrac{\sin x}{\color{#3a9a38}{1 - \sin^2 x}} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||Ainsi, on a démontré l’identité |\dfrac{\sec x}{\cot x} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}.|
Il y a souvent plus d’une façon d’arriver à démontrer une identité trigonométrique. Dans l’exemple précédent, on aurait également pu décider de travailler sur le membre droit de l’égalité. ||\begin{align}\dfrac{\sec x}{\cot x}&= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{1}{\cos x} \times \ \dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\sec x \times \dfrac{1}{\cot x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{\sec x}{\cot x}\end{align}||
Démontre l'identité suivante.||\cos \theta \, \sqrt{\sec^2 \theta -1} = \sin \theta||
On travaille sur le membre gauche de l’égalité. On utilise l'identité |1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta| et on obtient l'égalité |\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1.| On fait donc le remplacement dans le membre de gauche et on réduit.||\begin{align}\cos \theta \, \sqrt{\color{#3a9a38}{\sec^2 \theta -1}} &= \sin \theta\\ \cos \theta \, \sqrt{\color{#3a9a38}{\tan^2 \theta}} &= \sin \theta\\ \cos \theta \, \tan \theta&= \sin \theta\end{align}||On remplace la tangente par le rapport |\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}| et on réduit l’expression obtenue.||\begin{align}\cancel{\cos \theta} \, \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}}&= \sin \theta\\ \sin \theta &= \sin \theta\end{align}||On a démontré l’identité |\cos \theta \, \sqrt{\sec^2 \theta -1} = \sin \theta.|
Démontre l'identité suivante.||\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}=\sin^2 \theta||
On travaille sur le membre gauche de l'égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos| puis on réduit l’expression obtenue.||\begin{align}\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}&=\sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\cos^2 \theta \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}} &=\sin^2 \theta\\\\ \cancel{\cos^2 \theta} \times \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}} \times \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}}&=\sin^2 \theta\\\\ \sin^2 \theta&=\sin^2 \theta\end{align}||On a démontré l’identité |\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}=\sin^2 \theta.|
Démontre l'identité suivante.||\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta||
On travaille sur le membre gauche de l'égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos| et on fait la soustraction en écrivant les 2 termes à l’aide d’un dénominateur commun.
||\begin{align}\tan^2 \theta - \sin^2 \theta &= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \dfrac{\sin^2 \theta \, \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} &= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\\dfrac{\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \, \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\end{align}||
On effectue une mise en évidence simple de |\sin^2 \theta| au numérateur.||\dfrac{\sin^2 \theta\,(1-\cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta}= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta||On utilise le fait que |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1| pour remplacer |1-\cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta.| Ensuite, on regroupe adéquatement les facteurs pour nous permettre de remplacer |\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}| par |\tan^2\theta.|||\begin{align}\dfrac{\sin^2 \theta\,(\color{#3a9a38}{1-\cos^2 \theta})}{\cos^2 \theta}&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta\, \color{#3a9a38}{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} &=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \color{#3a9a38}{\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}\, \sin^2 \theta &=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \color{#3a9a38}{\tan^2 \theta} \, \sin^2 \theta&=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\end{align}||On a réussi à démontrer l’identité |\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta.|
Démontre l'identité suivante.||\sin \theta \, (1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) = \text{cosec } \theta + \sec \theta||
On réécrit tout le membre gauche de l’égalité en termes de |\sin| et de |\cos,| puis on effectue les multiplications.||\begin{align}\sin \theta \, ( 1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) &= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \sin \theta \left(1 + \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) + \cos \theta \left(1 + \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \sin \theta + \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\end{align}||On réorganise les termes, puis on met les 2 premiers sur un dénominateur commun et les 2 derniers sur un autre dénominateur commun. ||\begin{align}\sin \theta + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \cos \theta + \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\sin \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} +\dfrac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}+ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\
\dfrac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\end{align}||On utilise l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| pour simplifier les numérateurs.||\begin{align}\dfrac{1}{\sin \theta}+\dfrac{1}{\cos \theta}&= \text{cosec}\ \theta + \sec \theta\\\\ \text{cosec}\ \theta + \sec \theta&=\text{cosec}\ \theta + \sec \theta\end{align}||On démontre ainsi l’identité |\sin \theta \, (1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) = \text{cosec } \theta + \sec \theta.|
Démontre l'identité suivante.||(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)^2 = \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||
On développe le carré du membre gauche de l’égalité.||\begin{align}(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)^2 &= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ (\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \text{cosec}^2 \theta - 2\,\text{cosec}\, \theta \, \cot \theta + \cot^2 \theta&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||On développe en termes de |\sin| et de |\cos.|||\begin{align}\text{cosec}^2\,\theta - 2\text{cosec}\, \theta \, \cot \theta + \cot^2 \theta&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\
\dfrac{1}{\sin^2 \theta} - 2 \times \dfrac{1}{\sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta} \\\\
\dfrac{1}{\sin^2 \theta} - \dfrac{2\cos \theta}{\sin^2 \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||On regroupe les termes, car ils sont tous sur le même dénominateur, puis on les réorganise en ordre décroissant de degré.||\dfrac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1}{\sin^2 \theta}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Grâce à l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1,| on obtient l'égalité |\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta.| On remplace donc le |\sin^2 \theta.|||\dfrac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta +1}{\color{#3a9a38}{1-\cos^2 \theta}}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Il faut maintenant factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. Au numérateur, il s’agit d’un trinôme carré parfait, alors qu’au dénominateur, c’est une différence de carrés.
Numérateur||\begin{align}&\cos^2\theta\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}2\cos\theta+1\\
=\ &(\color{#3a9a38}{\cos\theta})^2\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}2(\color{#3a9a38}{\cos\theta})(\color{#3b87cd}{1})+(\color{#3b87cd}{1})^2\\
=\ &(\color{#3a9a38}{\cos\theta}\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}\color{#3b87cd}{1})(\color{#3a9a38}{\cos\theta}\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}\color{#3b87cd}{1})\end{align}||
Dénominateur||\begin{align}&1-\cos^2\theta\\
=\ &(\color{#3b87cd}{1})^2-(\color{#ec0000}{\cos\theta})^2\\
=\ &(\color{#3b87cd}{1}-\color{#ec0000}{\cos\theta})(\color{#3b87cd}{1}+\color{#ec0000}{\cos\theta})\end{align}||
||\dfrac{(\cos \theta - 1)(\cos \theta -1)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Pour arriver à simplifier des binômes, il faut mettre |-1| en évidence dans chacune des 2 paires de parenthèses au numérateur.||\begin{align}\dfrac{(-1)(-\cos \theta + 1)\,(-1)(-\cos \theta +1)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\ \dfrac{\overbrace{(-1)(-1)}^{\large{=1}}(1-\cos \theta)(1 - \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1+\cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \dfrac{\cancel{(1-\cos \theta)}(1-\cos \theta)}{\cancel{(1-\cos \theta)}(1+\cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||L’identité |(\text{cosec}\ \theta - \cot \theta)^2 = \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}| est démontrée.