La démonstration d'identités trigonométriques

Voici quelques astuces pour démontrer des identités trigonométriques.

• Travailler d’un seul côté de l'égalité.

• Transformer les termes en sinus et/ou en cosinus. Cela permet de simplifier l’expression.

• Chercher à obtenir une ou plusieurs identités trigonométriques de base.

• Mettre les fractions sur le même dénominateur.

• Faire des mises en évidence ou d’autres types de factorisation pour simplifier des termes.

• Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué soit du numérateur, soit du dénominateur.

Démontre l'identité suivante.||\sin^2 \theta = 1 - \cot^2 \theta \, \sin^2 \theta||

On réduit le membre de droite.

On débute en développant tout en termes de |\sin| et de |\cos,| puis on simplifie l’expression obtenue.||\begin{align}\sin^2\theta&=1-\cot^2\theta\,\sin^2\theta\\\\\sin^2\theta&=1-\dfrac{\cos^2\theta}{\cancel{\sin^2\theta}}\cancel{\sin^2\theta}\\\\\sin^2\theta&=1-\cos^2\theta\end{align}||En isolant |\sin^2 \theta| à partir de la 1^re identité pythagoricienne, on obtient l'égalité |\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta.| On substitue donc |1 - \cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta| dans le membre droit de l’équation. ||\sin^2\theta=\sin^2\theta||Les 2 membres de l’égalité sont donc identiques.

Démontre l'identité suivante.||\dfrac{\sec x}{\cot x} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}||

On travaille sur le membre gauche de l’égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos.|||\begin{align}\dfrac{\sec x}{\cot x} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\ \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||On effectue la division entre les 2 fractions. Diviser par une fraction est équivalent à multiplier par son inverse.||\begin{align}\dfrac{1}{\cos x} \times \dfrac{\sin x}{\cos x} &= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}&= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||En isolant |\cos^2 x| à partir de l'identité |\cos^2 x + \sin^2 x=1,| on obtient l'égalité |\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.| On substitue donc |\cos^2 x| par |1 - \sin^2 x| dans la fraction.||\begin{align}\dfrac{\sin x}{\color{#3a9a38}{\cos^2 x}} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\\dfrac{\sin x}{\color{#3a9a38}{1 - \sin^2 x}} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\end{align}||Ainsi, on a démontré l’identité |\dfrac{\sec x}{\cot x} = \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}.|

Il y a souvent plus d’une façon d’arriver à démontrer une identité trigonométrique. Dans l’exemple précédent, on aurait également pu décider de travailler sur le membre droit de l’égalité. ||\begin{align}\dfrac{\sec x}{\cot x}&= \dfrac{\sin x}{1 - \sin^2 x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{1}{\cos x} \times \ \dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\sec x \times \dfrac{1}{\cot x}\\\\\dfrac{\sec x}{\cot x}&=\dfrac{\sec x}{\cot x}\end{align}||

Démontre l'identité suivante.||\cos \theta \, \sqrt{\sec^2 \theta -1} = \sin \theta||

On travaille sur le membre gauche de l’égalité. On utilise l'identité |1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta| et on obtient l'égalité |\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1.| On fait donc le remplacement dans le membre de gauche et on réduit.||\begin{align}\cos \theta \, \sqrt{\color{#3a9a38}{\sec^2 \theta -1}} &= \sin \theta\\ \cos \theta \, \sqrt{\color{#3a9a38}{\tan^2 \theta}} &= \sin \theta\\ \cos \theta \, \tan \theta&= \sin \theta\end{align}||On remplace la tangente par le rapport |\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}| et on réduit l’expression obtenue.||\begin{align}\cancel{\cos \theta} \, \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}}&= \sin \theta\\ \sin \theta &= \sin \theta\end{align}||On a démontré l’identité |\cos \theta \, \sqrt{\sec^2 \theta -1} = \sin \theta.|

Démontre l'identité suivante.||\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}=\sin^2 \theta||

On travaille sur le membre gauche de l'égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos| puis on réduit l’expression obtenue.||\begin{align}\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}&=\sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\cos^2 \theta \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}} &=\sin^2 \theta\\\\ \cancel{\cos^2 \theta} \times \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}} \times \dfrac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}}&=\sin^2 \theta\\\\ \sin^2 \theta&=\sin^2 \theta\end{align}||On a démontré l’identité |\dfrac{\cos^2 \theta \, \tan \theta}{\cot \theta}=\sin^2 \theta.|

Démontre l'identité suivante.||\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta||

On travaille sur le membre gauche de l'égalité. On le développe en termes de |\sin| et de |\cos| et on fait la soustraction en écrivant les 2 termes à l’aide d’un dénominateur commun.

||\begin{align}\tan^2 \theta - \sin^2 \theta &= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \dfrac{\sin^2 \theta \, \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} &= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\\dfrac{\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \, \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\end{align}||

On effectue une mise en évidence simple de |\sin^2 \theta| au numérateur.||\dfrac{\sin^2 \theta\,(1-\cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta}= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta||On utilise le fait que |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1| pour remplacer |1-\cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta.| Ensuite, on regroupe adéquatement les facteurs pour nous permettre de remplacer |\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}| par |\tan^2\theta.|||\begin{align}\dfrac{\sin^2 \theta\,(\color{#3a9a38}{1-\cos^2 \theta})}{\cos^2 \theta}&= \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta\, \color{#3a9a38}{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} &=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \color{#3a9a38}{\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}\, \sin^2 \theta &=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\\\\ \color{#3a9a38}{\tan^2 \theta} \, \sin^2 \theta&=\tan^2 \theta \, \sin^2 \theta\end{align}||On a réussi à démontrer l’identité |\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \, \sin^2 \theta.|

Démontre l'identité suivante.||\sin \theta \, (1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) = \text{cosec } \theta + \sec \theta||

On réécrit tout le membre gauche de l’égalité en termes de |\sin| et de |\cos,| puis on effectue les multiplications.||\begin{align}\sin \theta \, ( 1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) &= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \sin \theta \left(1 + \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) + \cos \theta \left(1 + \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \sin \theta + \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\end{align}||On réorganise les termes, puis on met les 2 premiers sur un dénominateur commun et les 2 derniers sur un autre dénominateur commun. ||\begin{align}\sin \theta + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \cos \theta + \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\ \dfrac{\sin^2 \theta}{\sin \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} +\dfrac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}+ \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\\\\
\dfrac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}{\cos \theta}&= \text{cosec } \theta + \sec \theta\end{align}||On utilise l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| pour simplifier les numérateurs.||\begin{align}\dfrac{1}{\sin \theta}+\dfrac{1}{\cos \theta}&= \text{cosec}\ \theta + \sec \theta\\\\ \text{cosec}\ \theta + \sec \theta&=\text{cosec}\ \theta + \sec \theta\end{align}||On démontre ainsi l’identité |\sin \theta \, (1 + \tan \theta) + \cos \theta \, (1 + \cot \theta) = \text{cosec } \theta + \sec \theta.|

Démontre l'identité suivante.||(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)^2 = \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||

On développe le carré du membre gauche de l’égalité.||\begin{align}(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)^2 &= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ (\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)(\text{cosec}\, \theta - \cot \theta)&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \text{cosec}^2 \theta - 2\,\text{cosec}\, \theta \, \cot \theta + \cot^2 \theta&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||On développe en termes de |\sin| et de |\cos.|||\begin{align}\text{cosec}^2\,\theta - 2\text{cosec}\, \theta \, \cot \theta + \cot^2 \theta&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\
\dfrac{1}{\sin^2 \theta} - 2 \times \dfrac{1}{\sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta} \\\\
\dfrac{1}{\sin^2 \theta} - \dfrac{2\cos \theta}{\sin^2 \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||On regroupe les termes, car ils sont tous sur le même dénominateur, puis on les réorganise en ordre décroissant de degré.||\dfrac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1}{\sin^2 \theta}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Grâce à l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1,| on obtient l'égalité |\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta.| On remplace donc le |\sin^2 \theta.|||\dfrac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta +1}{\color{#3a9a38}{1-\cos^2 \theta}}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Il faut maintenant factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. Au numérateur, il s’agit d’un trinôme carré parfait, alors qu’au dénominateur, c’est une différence de carrés.

||\dfrac{(\cos \theta - 1)(\cos \theta -1)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}||Pour arriver à simplifier des binômes, il faut mettre |-1| en évidence dans chacune des 2 paires de parenthèses au numérateur.||\begin{align}\dfrac{(-1)(-\cos \theta + 1)\,(-1)(-\cos \theta +1)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\ \dfrac{\overbrace{(-1)(-1)}^{\large{=1}}(1-\cos \theta)(1 - \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1+\cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \dfrac{\cancel{(1-\cos \theta)}(1-\cos \theta)}{\cancel{(1-\cos \theta)}(1+\cos \theta)}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\\\\ \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}&= \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}\end{align}||L’identité |(\text{cosec}\ \theta - \cot \theta)^2 = \dfrac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}| est démontrée.