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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 4 • 1a

Bonjour, je n'ai aucune idée comment faire ce problème, j'aurais donc besoin de votre aide svp.

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Mathématiques
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Explications (2)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 1a June 2021 modifié

    Salut !

    Cela me semble un problème très difficile pour la quatrième secondaire. Cela dit, il y a peut-être une démarche plus simple (et quelque chose qui m'échappe).


    Puisque la vitesse horizontale est \(15\) m/s, tu peux remplacer \(V\) par \(15\). On obtient

    \[y = -4,\!9\left(\frac{x}{15}\right)^2 + 14\left(\frac{x}{15}\right)\]

    On peut effectuer quelques étapes pour obtenir la forme générale. On obtient

    \[y = -4,\!9\frac{x^2}{15^2} +\frac{14}{15}x\]

    Et puisque \(15^2 = 225\), on obtient

    \[y = \frac{-4,\!9}{225}x^2 + \frac{14}{15}x\]


    Disons que l'équation de la droite est \[y = ax + b\]Si tu remplaces \(x\) par \(-10\) et \(y\) par \(0\), tu obtiens

    \[0 = a(-10) + b\] \[0 = -10a = b\] \[10a = b\]

    Cela ne nous donne ni la valeur de \(a\), ni de \(b\), mais la relation entre les deux. On pourrait dire que l'équation de la droite est \[y = ax + 10a\]


    Finalement, on veut un seul point « d'intersection ». En réalité c'est un point de tangence. Cela veut dire que si l'on résout

    \[ax + 10a = -4,\!9\frac{x^2}{15^2} +\frac{14}{15}x\]

    on voudrait obtenir un discriminant égal à \(0\). On peut d'abord regrouper les termes semblables :

    \[0 = \frac{-4,\!9}{225}x^2 + \frac{14}{15}x - ax - 10a\] \[0 = \frac{-4,\!9}{225}x^2 + \left(\frac{14}{15}-a\right)x - 10a\]


    Le discriminant est \[\Delta = b^2 - 4ac\] (attention là ici ce n'est pas la même variable \(a\) que plutôt, mais je pense que tu suis ce que je veux dire)

    \[0 = \textcolor{Red}{\frac{-4,\!9}{225}}x^2 + \textcolor{Blue}{\left(\frac{14}{15}-a\right)}x \textcolor{Green}{- 10a}\]

    \[\Delta = \left(\textcolor{Blue}{\frac{14}{15}-a}\right)^2 - 4\left(\textcolor{Red}{\frac{-4,\!9}{225}}\right)\left( \textcolor{Green}{- 10a}\right)\]

    Il faut réduire, ensuite on posera égal à zéro.

    \[\Delta = \frac{196}{225} - \frac{28}{15}a + a^2 - \frac{196}{225}a\]

    \[\Delta = a^2 - \left(\frac{28}{15} + \frac{196}{225}\right)a +\frac{196}{225}\]

    (J'ai fait une mise en évidence de \(a\)) Si tu mets sur le même dénominateur dans la parenthèse, tu obtiens

    \[\Delta = a^2 - \left(\frac{420}{225} + \frac{196}{225}\right)a +\frac{196}{225}\]

    \[\Delta = a^2 - \frac{616}{225}a +\frac{196}{225}\]

    Bon ! Il reste à résoudre \[a^2 - \frac{616}{225}a +\frac{196}{225} = 0\]

    Petit truc : multiplie chaque côté par 225 :

    \[225\left(a^2 - \frac{616}{225}a +\frac{196}{225}\right) = 225\left(0\right)\] \[225a^2 - 616a + 196 = 0\]

    Je te laisse résoudre avec la formule quadratique, mais pour ma part, j'obtiens deux solutions \[a \approx 2,\!37026\]et \[a \approx 0,\!36752\]Tu calcules ensuite \(b = 10a\) pour obtenir l'équation de la droite.

    User: "image.png"

    Les deux solutions nous donnent les deux droites bleue et verte ci-dessus. La droite verte correspond à celle ou le point de tangence est à droite de l'axe des \(y\). J'ai obtenu la droite verte avec \(a \approx 0,\!36752\).


    Trouve le point de tangence entre la droite et la parabole en remplaçant et en résolvant. Lorsque tu as le point d'intersection, tu pourras calculer l'angle demandé avec l'arctangente.

    image.png


    Tu peux compléter et vérifier les calculs. À toi de jouer !

  • Options
    Équipe Alloprof • 1a

    Je te renvoie le bonjour ;)

    Merci de faire appel aux services d'Alloprof. Nous sommes ici en tout temps pour te venir en aide au mieux de nos capacités:)


    Ceci étant dit, en question du problème, il faut trouver l'angle du tir qui est celui-ci dessiné en rouge:

    image.png

    Collectons les données pertinentes:

    • Le mécanisme de lancement est situé au point (0,0) qui est le point de lancement du tir
    • La trajectoire du lancement est representée par cette équation: y= -4,9(x/V)^2 + 14(x/V)
    • Dans cette équation, V est la vitesse horizontale et x est la distance ou position en mètres
    • Le point de la location de la participante est (-10,0)
    • Le point d'intersection a une vitesse horizontale (donc le V) de 15m/s.


    Je te présente une démarche générale:

    • Trouver l' équation de la droite
    • Égaliser l'équation de la droite avec l'équation de la parabole (qui est donnée) pour trouver le x du point d'intersection sachant que le V est de 15.
    • Trouver le y du point de l'intersection
    • Faire un triangle, calculer la distance entre les points qui équivaut aux cotés (jaunes dans l'image) du triangle et utiliser les identités trigonométriques de base pour trouver l'angle. Pssss je crois que tu devras utiliser la fonction de cosinus.

    Voici le visuel:

    image.png

    La fiche La distance entre deux points | Alloprof pour consulter la formule de la distance entre deux points.

    La fiche Les identités trigonométriques | Alloprof sur les identités.


    J'espère le tout t'a aidé :) N'hésite si tu désires plus de clarification.