Les identités trigonométriques

Une identité trigonométrique est une égalité, toujours vraie, découlant de certaines relations entre divers rapports trigonométriques.

1. Déterminer les coordonnées du point trigonométrique |P(\theta).|

2. Modifier l’expression en termes de |\sin\theta| et/ou de |\cos\theta.|

3. Remplacer les coordonnées dans l’expression.

4. Déterminer la valeur de l’expression.

Détermine la valeur exacte de l’expression trigonométrique |\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right).|

1. Déterminer les coordonnées du point trigonométrique |\boldsymbol{P(\theta)}|
   ||P\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\left(\color{#333fb1}{-\dfrac{1}{2}},\color{#ec0000}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)||

2. Modifier l’expression en termes de |\boldsymbol{\sin\theta}| et/ou de |\boldsymbol{\cos\theta}|
   ||\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}||

3. Remplacer les coordonnées dans l’expression
   ||\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\color{#ec0000}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}{\color{#333fb1}{-\dfrac{1}{2}}}||

4. Déterminer la valeur de l’expression
   ||\begin{align}\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times-\dfrac{2}{1}\\&=-\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\&=-\sqrt{3}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)| est |-\sqrt{3}.|

Détermine la valeur exacte de l’expression |\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right).|

1. Déterminer les coordonnées du point trigonométrique |\boldsymbol{P(\theta)}|
   ||P\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\left(\color{#333fb1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}},\color{#ec0000}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)||

2. Modifier l’expression en termes de |\boldsymbol{\sin\theta}| et/ou de |\boldsymbol{\cos\theta}|
   ||\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)}||

3. Remplacer les coordonnées dans l’expression
   ||\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\color{#333fb1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}||

4. Déterminer la valeur de l’expression
   ||\begin{align}\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)&=1\times-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\\&=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\end{align}||On doit rationaliser la fraction pour ne pas avoir de racine au dénominateur.||\begin{align}\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)&=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\color{#ec0000}{\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\\&=-\dfrac{2\sqrt{2}}{2}\\&=-\sqrt{2}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)| est |-\sqrt{2}.|

1. Calculer le nombre de rotations à soustraire à l’angle |\theta| en divisant cette mesure d’angle par |2\pi| et en conservant la partie entière du résultat obtenu.||N=\left[\dfrac{\theta}{2\pi}\right]||

2. À partir de l’angle |\theta,| soustraire l’angle formé par le nombre de rotations calculé |(N).|||\theta\, '=\theta-(N\times 2\pi)||

3. Situer le résultat, qui est un angle entre |0| et |2\pi,| sur le cercle trigonométrique et indiquer ses coordonnées |x| et |y.|

4. Déterminer la valeur de l’expression trigonométrique recherchée à l’aide de ses coordonnées.

Détermine la valeur exacte de |\text{cosec}\left(\dfrac{47\pi}{6}\right).|

1. Calculer le nombre de rotations
   ||\begin{align}N&=\left[\dfrac{\theta}{2\pi}\right]\\&=\left[\dfrac{\frac{47\pi}{6}}{2\pi}\right]\\&=\left[\dfrac{47\pi}{6}\times\dfrac{1}{2\pi}\right]\\&=\left[\dfrac{47}{12}\right]\\&=\left[3{,}91\overline{6}\right]\\&=3\end{align}||

2. Soustraire l’angle formé par les rotations
   ||\begin{align}\theta\, '&=\color{#3a9a38}\theta-(\color{#3a9a38}N\times2\pi)\\&=\color{#3a9a38}{\dfrac{47\pi}{6}}-(\color{#3a9a38}3\times2\pi)\\&=\dfrac{47\pi}{6}-6\pi\\&=\dfrac{47\pi}{6}-\dfrac{36\pi}{6}\\&=\dfrac{11\pi}{6}\end{align}||

3. Trouver les coordonnées
   Le point |P\left(\dfrac{47\pi}{6}\right)| coïncide avec le point |P\left(\dfrac{11\pi}{6}\right).| Ses coordonnées sont donc les suivantes.||\begin{align}P\left(\dfrac{47\pi}{6}\right)&=P\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\\&=\left(\color{#333fb1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}},\color{#ec0000}{-\dfrac{1}{2}}\right)\end{align}||

4. Déterminer la valeur de l’expression
   ||\begin{align}\text{cosec}\left(\dfrac{47\pi}{6}\right)&=\dfrac{1}{\color{#ec0000}{\sin\left(\dfrac{47\pi}{6}\right)}}\\&=\dfrac{1}{\color{#ec0000}{-\dfrac{1}{2}}}\\&=1\times-\dfrac{2}{1}\\&=-2\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\text{cosec}\left(\dfrac{47\pi}{6}\right)| est |-2.|

Calcule la valeur de |\text{cotan}\left(-\dfrac{79\pi}{3}\right).|

1. Calculer le nombre de rotations
   ||\begin{align}N&=\left[\dfrac{\theta}{2\pi}\right]\\&=\left[\dfrac{-\frac{79\pi}{3}}{2\pi}\right]\\&=\left[-\dfrac{79\pi}{3}\times\dfrac{1}{2\pi}\right]\\&=\left[-\dfrac{79}{6}\right]\\&=\left[-13{,}1\overline{6}\right]\\&=-14\end{align}||Ici, on doit déterminer la partie entière d’un nombre négatif. On obtient donc un nombre de tours négatif. Cela signifie que l’angle de rotation pour déterminer le nombre de tours est dans le sens horaire.

2. Soustraire l’angle formé par les rotations
   ||\begin{align}\theta\ '&=\color{#3a9a38}\theta-(\color{#3a9a38}N\times2\pi)\\&=\color{#3a9a38}{-\dfrac{79\pi}{3}}-(\color{#3a9a38}{-14}\times2\pi)\\&=-\dfrac{79\pi}{3}+28\pi\\&=-\dfrac{79\pi}{3}+\dfrac{84\pi}{3}\\&=\dfrac{5\pi}{3}\end{align}||

3. Trouver les coordonnées
   Le point |P\left(-\dfrac{79\pi}{3}\right)| coïncide avec le point |P\left(\dfrac{5\pi}{3}\right).| Ses coordonnées sont donc les suivantes.||\begin{align}P\left(-\dfrac{79\pi}{3}\right)&=P\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\\&=\left(\color{#333fb1}{\dfrac{1}{2}},\color{#ec0000}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)\end{align}||

4. Déterminer la valeur de l’expression
   ||\begin{align}\text{cotan}\left(-\dfrac{79\pi}{3}\right)&=\text{cotan}\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\\&=\dfrac{\color{#333fb1}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)}}{\color{#ec0000}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)}}\\&=\dfrac{\color{#333fb1}{\dfrac{1}{2}}}{\color{#ec0000}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\\&=\dfrac{1}{2}\times-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\&=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\&=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\text{cotan}\left(-\dfrac{79\pi}{3}\right)| est |-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.|

||\begin{alignat}{13}\cos^2\theta\ \,&+\,\sin^2\theta&&=\quad\ 1\\1\quad\ \,&+\tan^2\theta&&=\ \sec^2\theta\\\text{cotan}^2\theta&+\quad1&&=\text{cosec}^2\theta\end{alignat}||

||\begin{align}\tan(A+B)&=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\\\\tan(A-B)&=\dfrac{\tan A -\tan B}{1+\tan A \tan B}\\\\ \tan(2A)&=\dfrac{2 \tan A}{1-\tan^2A}\end{align}||

Les identités |\tan(A+B),| |\tan(A-B)| et |\tan(2A)| sont valides uniquement lorsque le dénominateur est non nul.

1. Déterminer quelle combinaison d’angles remarquables permet d’obtenir |\theta.|

2. Choisir la bonne identité trigonométrique.

3. Déterminer la valeur de l’expression.

Détermine la valeur exacte de |\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right).|

1. Déterminer quelle combinaison d’angles remarquables permet d’obtenir |\boldsymbol{\theta}|

La valeur |\dfrac{7\pi}{12}| n'étant pas un angle remarquable, on doit la décomposer en une somme ou en une différence d'angles remarquables. On trouve l’addition suivante.||\begin{align}\dfrac{7\pi}{12}&=\dfrac{3\pi}{12}+\dfrac{4\pi}{12}\\\\&=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\end{align}||

2. Choisir la bonne identité trigonométrique

On cherche |\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right).| Il faut donc utiliser l’identité |\sin(A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B| avec |A=\dfrac{\pi}{4}| et |B=\dfrac{\pi}{3}.|

3. Déterminer la valeur de l’expression

||\begin{align}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\sin \dfrac{\pi}{4} \times \cos\dfrac{\pi}{3}+ \cos\dfrac{\pi}{4} \times \sin\dfrac{\pi}{3}\\\\&=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4}\\\\&=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)| est |\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.|

Détermine la valeur exacte de |\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right).|

1. Déterminer quelle combinaison d’angles remarquables permet d’obtenir |\boldsymbol{\theta}|

La valeur |\dfrac{\pi}{12}| n'étant pas un angle remarquable, on doit la décomposer en une somme ou en une différence d'angles remarquables. On trouve la soustraction suivante.||\begin{align}\dfrac{\pi}{12}&=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}\\&= \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\end{align}||

2. Choisir la bonne formule

On cherche |\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right).| Il faut donc utiliser l’identité |\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B| avec |A=\dfrac{\pi}{3}| et |B=\dfrac{\pi}{4}.|

3. Déterminer la valeur de l’expression

||\begin{align}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)&=\cos\dfrac{\pi}{3} \times \cos\dfrac{\pi}{4} + \sin \dfrac{\pi}{3} \times \sin\dfrac{\pi}{4}\\\\&=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} \\\\&=\dfrac{\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt6}{4}\\\\&=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)| est |\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.|

Détermine la valeur exacte de |\tan\left(\dfrac{23\pi}{12}\right).|

1. Déterminer quelle combinaison d’angles remarquables permet d’obtenir |\boldsymbol{\theta}|

La valeur |\dfrac{23\pi}{12}| n'étant pas un angle remarquable, on doit la décomposer en une somme ou en une différence d'angles remarquables. On trouve l’addition suivante.||\begin{align}\dfrac{23\pi}{12}&=\dfrac{21\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{12}\\\\&=\dfrac{7\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\end{align}||

2. Choisir la bonne formule

On cherche |\tan\left(\dfrac{7\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right).| Il faut donc utiliser l’identité |\tan(A+B)=\dfrac{\tan A + \tan B}{1- \tan A \tan B}| avec |A=\dfrac{7\pi}{4}| et |B=\dfrac{\pi}{6}.|

3. Déterminer la valeur de l’expression

||\begin{align}\tan\left(\dfrac{7\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)&= \dfrac{\tan\dfrac{7\pi}{4} + \tan\dfrac{\pi}{6}}{1 - \tan \dfrac{7\pi}{4} \times \tan \dfrac{\pi}{6}}\\\\&=\dfrac{-1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - -1 \times \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=\dfrac{\ \dfrac{-3 + \sqrt{3}}{3}\ }{\ \dfrac{3+\sqrt{3}}{3}}\\\\&=\dfrac{-3 + \sqrt{3}}{3} \times \dfrac{3}{3+\sqrt{3}}\\\\&=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\end{align}||On doit rationaliser la fraction en multipliant par le conjugué du dénominateur.||\begin{align}\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}&=\dfrac{\left(-3 + \sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)} \color{#ec0000}{\times {\dfrac{\left(3 - \sqrt{3}\right)}{\left(3 - \sqrt{3}\right)}}}\\\\ &=\dfrac{-9+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3}{9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3}\\\\&=\dfrac{-12 + 6\sqrt{3}}{6}\\\\&=-2+\sqrt{3}\end{align}||

Réponse : La valeur exacte de |\tan\left(\dfrac{23\pi}{12}\right)| est |-2+\sqrt{3}.|