Secondaire 5 • 2a
A quoi sert de restreindre le domaine de definition de cette fonction ? et pourquoi si on le faisait pas se serait impossible de définir cette fonction réciproque ?
il s agit de trouver la réciproque de cette fonction.
voici le graphique associee a la fonction , est ce que c est pour definir le domaine de la parabole, donc on veut pas le cote ou x est inferieur a -2 , est ce que cela aura un effet sur le graphique de la réciproque ou sinon c permet de choisir quelles branches parmis les 2 qui composent la reciproque de la parabole est a prendre ?merci
La fonction que tu as présenté est bien définie sur pour toute valeur de x dans R on peut calculer son image y=f(x) il n'y a pas de restriction proprement dite.
Par contre si on s'intéresse si la fonction a une fonction réciproque la réponse est non, examine le cas y=5 s'il n'y avait pas la restriction x>=-2 y=5 aurais eu deux antécédents x=0 et x=-4
paracerque f(0)=5 et f(-4)=5
de même y=10 aurais eu deux antécédents x=1 et x=-6
Dans ce cas le fonction étudiée n'as pas de fonction réciproque
On sait que la fonction réciproque quand elle existe; est la fonction qui a tout y de l'ensemble d'arrivé associe au plus un x de l'ensemble de départ et on la note f-1(x)
Par contre si on restreint le domaine de départ x>=-2 tout élément y aura un seul antécédent
Dans ce cas on peut parler de fonction réciproque de (x+2)²+1
par exemple voir graphe
y=1 a un seul antécédent c'est x=-2
y=2 a un seul antécédent c'est x=-1
y=5 a un seul antécédent c'est x=0
Trouver la fonction réciproque revient donc a résoudre l'équation
y=(x+2)²+1 c'est a dire tirer l'antécédent x en fonction de y
y-1=(x+2)² avec y>=1 on passe a la racine carrée
racine(y-1)=racine(x+2)² y>=1
racine(x+2)²=racine(y-1) y>=1
|x+2|=racine(y-1) y>=1
|x+2|=x+2 si x>=-2
|x+2|=-(x+2) si x<=-2
L'équation en x ---------- y=(x+2)²+1
a deux solutions
x+2=racine(y-1) si x>=-2 et y>=1
ou
-(x+2)=racine(y-1) si x<=-2 et y>=1
x=-2+racine(y-1) si x>=-2 et y>=1
ou
x=-2-racine(y-1) si x<=-2 et y>=1
pour un y>=1 si on maintient x dans tout R
tout y a deux antécédents vus précédemment,
par contre si on travail dans le domaine x>=-2
tout y>=1 a seulement un antécédent x=-2+racine(y-1)
dans ce cas la fonction f(x)=(x+2)²+1
de [-2, +linfini[ dans [1, +linfini[
a une fonction réciproque qu'on notera g
de [1, +linfini[ dans [-2, +linfini[ et qui a tout t appartenant a [1, +linfini[ associe
g(t)=-2+racine(t-1)
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Salut !
La réciproque d'une fonction polynomiale du second degré n'est pas une fonction. Pour une valeur de y, il peut exister plus d'une valeur de x.
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Avec la restriction posée, il n'y a qu'une valeur de x pour chaque valeur de y. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas !
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