Secondaire 5 • 20j
Est-ce que vous résoudre ce problème et expliquer comment vous l’avez fait?
Embusqué dans les buissons, un lion téméraire guette une autruche courant dans la savane et se rapprochant de lui. Alors que l’insouciant oiseau passe devant le lion à une vitesse constante de 12 m/s, ce dernier, se fiant à son instinct de prédateur, se permet d’attendre 3 s avant d’entreprendre une fulgurante accélération de 4 m/s2. Combien de temps le lion mettra-il pour rattraper l’autruche, (on suppose que cette dernière maintiendra sa vitesse constante) ?
la réponse est 8.2s
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Merci pour ta question!
Ah! Il s'agit d'un exemple d'un problème classique où il faut trouver le point de rencontre de deux corps voyagent à des vitesses différentes!
La première étape dans ce type de problème est toujours d'établir une équation qui représente la distance parcourue par chaque corps. Commençons par l'autruche. Puisqu'elle se déplace à une vitesse constante de 12 m/s, sa distance parcourue correspond à :
$$ d_{autruche} = vt $$
Légende :
• dautruche : distance parcourure par l'autruche (m)
• v : vitesse de l'autruche (m/s)
• t : temps (s)
En remplaçant le tout avec les valeurs du problème, l'équation devient :
$$ d_{autruche} = 12t $$
Poursuivons avec le lion. Le lion a une vitesse initiale nulle, mais il a une accélération de 4 m/s^2. Selon les équations de la cinématique, on peut représenter sa distance comme suit :
$$ d_{lion} = d_0 + vt + \frac{1}{2}at^2 $$
Or, il faut se rappeler que le lion part 3 secondes après que l'autruche passe. Ainsi, pour compenser, il faut soustraire 3 à la variable t dans l'équation :
$$ d_{lion} = d_0 + v(t-3) + \frac{1}{2}a(t-3)^2 $$
En remplaçant les variables par leurs vraies valeurs, on obtient l'équation suivante :
$$ d_{lion} = 0 + 0(t-3) + \frac{1}{2}4(t-3)^2 $$
$$ d_{lion} = \frac{1}{2}4(t-3)^2 $$
La seconde étape dans ce genre de problème est de trouver le temps auquel les deux distances s'équivalent. Pour ce faire, on compare les deux équations :
$$ d_{lion} = \frac{1}{2}4(t-3)^2 = d_{autruche} = 12t $$
$$ \frac{1}{2}4(t-3)^2 = 12t $$
Puis, on isole la variable t :
$$ 0 = 2(t^2-6t+9) - 12t $$
$$ 0 = 2t^2 - 12t -12 t + 18 $$
$$ 0 = 2t^2 -24t + 18 $$
On peut ensuite utiliser la formule quadratique pour trouver la valeur de t :
$$ t = 11,2\:secondes $$
On demande le temps que nécessite le lion pour rattraper l'autruche, donc on peut soustraire le temps d'attente initial de 3 secondes :
$$ t = 11,2\:secondes - 3\:secondes = 8,2\:secondes $$
Cette fiche du site d'Alloprof explique la cinématique :
Voilà!
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