La règle d'une suite

La règle d'une suite est une relation d'égalité mathématique qui permet de trouver la valeur de tous les termes d'une suite.

|\text{Terme = régularité} \times \text{rang du terme + terme de rang zéro}|

Dans cette formule, on peut changer le mot régularité par raison.

|\text{Terme = raison} \times \text{rang du terme + terme de rang zéro}|

On peut aussi écrire cette formule en utilisant une forme abrégée.

1. Déterminer la régularité en calculant la différence entre 2 termes consécutifs.

2. Déterminer la valeur du terme lorsque le rang est égal à 0 (rang 0).

3. Écrire la règle de la suite.

Prenons la table de valeurs suivante.

1. Déterminer la régularité
   
   La distance entre 2 termes consécutifs représente la régularité de la règle.||\begin{align}7-5 &=2\\ 9-7&=2 \\ 11-9 &= 2\end{align}||La régularité est donc de |+2.| On peut donc écrire |t = 2\times n + \text{rang}\ 0.|

2. Déterminer la valeur du rang 0
   
   Méthode 1
   On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs.
   
   Prenons le couple |(3,9).| On remplace |t| par |9| et |n| par |3.| ||\begin{align}9&= 2\times 3 + \text{rang}\ 0\\9&= 6 + \text{rang}\ 0\end{align}||On doit remplacer le rang |0| par |3| pour respecter l'égalité.||9=6+3||
   Méthode 2
   On peut déterminer la valeur du terme qui serait situé au rang |0.| Pour ce faire, il faut soustraire la régularité au terme situé au rang |1.| ||5 - (+2) = 3||Le rang |0| est donc |3.|

3. Écrire la règle
   
   La règle est donc la suivante. ||t=2n+3||

Prenons la table de valeurs suivante.

1. Déterminer la régularité
   
   La distance entre 2 termes consécutifs représente la régularité de la règle. ||\begin{align}-14 - (-12) &= -2\\-16- (-14) &= -2\\-18 - (-16) &= -2\end{align}||La régularité est donc de |-2.| On peut donc écrire |t = -2\times n + \text{rang}\ 0.|

2. Déterminer la valeur du rang 0
   
   On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs.
   
   Prenons le couple |(1,-12).| On remplace |t| par |-12| et |n| par |1.| ||\begin{align}-12&= -2\times 1 + \text{rang}\ 0\\-12&= -2 + \text{rang}\ 0\end{align}||On doit remplacer le rang |0| par |-10| pour respecter l'égalité. ||-12=-2+ -10||

3. Écrire la règle
   
   La règle est donc la suivante. ||t=-2n-10||

|\text{terme} = 1^{\text{er}}\,\text{terme}\times \text{régularité}^{(\text{rang du terme} - 1)}|

Cette règle peut être simplifiée par l'emploi de variables.

|t = 1^{\text{er}}\,\text{terme}\times \text{régularité}^{(n - 1)}|

1. Déterminer la régularité entre deux termes consécutifs

2. Déterminer le premier terme de la suite

3. Écrire la règle de la suite

Prenons la table de valeurs suivante

1. Déterminer la régularité
   
   D'un terme à l'autre, on multiplie par un facteur de |2.| La régularité est donc |2.|

2. Déterminer le premier terme
   
   Le premier terme de la suite est |3.|

3. Écrire la règle
   
   La règle est donc la suivante. ||t = 3\times 2^{(n - 1)}||

Si on veut trouver le terme qui occupe le |12^{\text{e}}| rang avec la règle |t = 4n + 7,| on remplace |n| par sa valeur |(12).| ||\begin{align} t &= 4(12) + 7 \\ t &= 48 + 7 \\ t &= 55 \end{align}||Le |12^{\text{e}}| terme de la suite est |55.|

Si on veut trouver à quel rang se situe le terme |167| avec la règle |t = 4n + 7,| on remplace |t| par sa valeur |(167).| ||\begin{align} 167 &= 4n + 7 \\ 167 \color{#ec0000}{- 7} &= 4n + 7 \color{#ec0000}{- 7} \\ 160 &= 4n \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{160}}{4}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{4n}}{4}} \\ 40 &= n \end{align}||Le terme |167| est situé au |40^{\text{e}}| rang.