Le rang centile

• Le rang centile d’une donnée |x| correspond au pourcentage des données dont la valeur est inférieure ou égale à |x.| On note le rang centile de |x| par |R_{100}(x).|

• Les centiles correspondent aux |99| valeurs qui séparent une distribution ordonnée en |100| groupes qui contiennent environ |1\ \%| des données. On note les centiles de |C_1| à |C_{99}.|

Les données qui ont la même valeur doivent occuper le même rang centile.

||R_{100}(x)=\dfrac{\begin{gather}\text{Nombre de données de}\\\text{valeur inférieure à }x\end{gather}+\dfrac{1}{2}\left(\begin{gathered}\text{Nombre de données de}\\\text{valeur égale à }x\end{gathered}\right)}{\begin{gather}\text{Nombre total de données}\end{gather}}\times100||

Si on obtient un résultat qui n’est pas un nombre naturel, on doit arrondir à l’entier supérieur.

Dans une classe de |30| élèves, Martine a obtenu une note de |83\ \%| au dernier examen de mathématiques, soit la 4^e meilleure note du groupe. De plus, elle est la seule élève qui a obtenu ce résultat.

Quel est le rang centile de Martine?

Selon les informations fournies, |26| élèves |(30-4)| ont obtenus un résultat inférieur à |83\ \%.| De plus, |1| seul élève (Martine) a obtenu exactement |83\ \%.|

On calcule le rang centile de Martine à l’aide de la formule.||\begin{align}R_{100}(\text{Martine})&=\dfrac{\begin{gather}\text{Nombre de notes}\\\text{inférieures à }83\ \%\end{gather}+\dfrac{1}{2}\left(\begin{gathered}\text{Nombre de notes}\\\text{égales à }83\ \%\end{gathered}\right)}{\begin{gather}\text{Nombre total de notes}\end{gather}}\times100\\&=\dfrac{26+\dfrac{1}{2}(1)}{30}\times100\\&=88{,}\overline{3}\end{align}||En arrondissant à l’entier supérieur, on obtient |89.|

Réponse : Martine occupe le 89^e rang centile, qu’on note |R_{100}(\text{Martine})=89.|

Il faut toujours prendre en compte le contexte d’une situation lorsqu’on s’intéresse au rang centile d’une donnée. En effet, plus la donnée étudiée est meilleure ou performante par rapport aux autres données, plus son rang centile est élevé. 

Dans l’exemple précédent, les élèves sont classés en fonction de leur note sur |100.| Ainsi, plus la note d’un élève est élevée, plus l’élève est performant, donc plus son rang centile est élevé.

À l’inverse, on pourrait s’intéresser aux participants à une course, où les participants sont classés en fonction du temps qu’ils ont pris pour parcourir la distance. Dans ce genre de situation, plus le temps d’un participant est petit, plus le participant est performant, donc plus son rang centile est élevé.

Lors du dernier grand tour du Lac Mégantic en vélo, il y avait |312| participants. Dany a franchi la ligne d’arrivé en même temps que |5| autres personnes et ils se sont donc partagé la 89^e position au classement.

Quel est le rang centile de Dany?

Selon les informations fournies, |218| cyclistes |(312-88-5-1)| ont franchi la ligne d'arrivée après Dany. En effet, des |312| cyclistes, on doit soustraire les |88| qui sont arrivés avant Dany, les |5| qui sont arrivés en même temps que lui, ainsi que Dany lui-même.

On calcule le rang centile de Dany à l’aide de la formule.||\begin{align}R_{100}(\text{Dany})&=\dfrac{\begin{gather}\text{Nombre de cyclistes}\\\text{arrivés après la }89^\text{e}\ \text{position}\end{gather}+\dfrac{1}{2}\left(\begin{gathered}\text{Nombre de cyclistes}\\\text{à la }89^\text{e}\ \text{position}\end{gathered}\right)}{\begin{gather}\text{Nombre total de cyclistes}\end{gather}}\times100\\&=\dfrac{218+\dfrac{1}{2}(6)}{312}\times100\\&=70{,}8\overline{3}\end{align}||En arrondissant à l’entier supérieur, on obtient |71.|

Réponse : Dany occupe le 71^e rang centile, qu’on note |R_{100}(\text{Dany})=71.|

​​​​​Il est possible de convertir les rangs centiles en quarts et les centiles en quartiles.

On peut comparer ces 2 notions à l’aide d’un diagramme de quartiles.

||\begin{gathered}\text{Position de }x\\\text{dans la distribution}\end{gathered}=\dfrac{R_{100}(x)}{100}\times\begin{gather}\text{Nombre total}\\\text{de données}\end{gather}||

Si on obtient un résultat qui n’est pas un nombre naturel, on doit arrondir à l'entier inférieur.

On a mesuré la taille, en centimètres, des |124| enfants de 15 ans à l’école secondaire de Juliette. Voici la distribution obtenue.||150,155,156,\!\!\!\!\!\!\underbrace{\ldots}_{\large{68\ \text{élèves}}}\!\!\!\!\!,167,167,168,169,170,170,170,171,\!\!\!\!\!\!\underbrace{\ldots}_{\large{42\ \text{élèves}}}\!\!\!\!\!,182,185,188||Quelle est la taille de Juliette si elle se trouve dans le 61^e rang centile?

1. Calculer la position de Juliette dans la liste

||\begin{aligned}\begin{gathered}\text{Position de Juliette}\\\text{dans l'école}\end{gathered}&=\dfrac{R_{100}(\text{Juliette})}{100}\times\begin{gather}\text{Nombre total}\\\text{de données}\end{gather}\\&=\dfrac{61}{100}\times124\\&=75{,}64\end{aligned}||En arrondissant à l'entier inférieur, on détermine que Juliette serait la 75^e donnée. La position de la donnée recherchée se trouve toujours en comptant à partir de la donnée la moins performante, qui correspond ici à |150.| Ainsi, la 75^e donnée est |169.|

2. Valider le résultat

On vérifie si |169| occupe bel et bien le 61^e rang centile.||\begin{align}R_{100}(\text{Juliette})&=\dfrac{\begin{gather}\text{Nombre de données}\\\text{inférieures à }169\end{gather}+\dfrac{1}{2}\left(\begin{gathered}\text{Nombre de données}\\\text{égales à }169\end{gathered}\right)}{\begin{gather}\text{Nombre total de données}\end{gather}}\times100\\&=\dfrac{74+\dfrac{1}{2}(1)}{124}\times100\\&\approx60{,}08\end{align}||En arrondissant à l’entier supérieur, on obtient |61.| C’est bel et bien |169| qui correspond à la donnée recherchée.

Réponse : Juliette mesure |169\ \text{cm}.|

Il est toujours préférable de vérifier que le résultat de position obtenu à l’aide de la formule indique une donnée qui occupe bel et bien le rang centile fourni. En effet, il est possible que la donnée recherchée occupe la position suivante dans la distribution.

Voici les meilleurs résultats d’un concours d’hommes forts dans lequel les participants devaient soulever un poids de |200\ \text{kg}| le plus longtemps possible.

Quelle donnée occupe le 25^e rang centile?