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Les relations entre les angles
Fiche | Mathématiques
Secondaire
1-4
Table des matières
Lorsqu'une sécante coupe une ou plusieurs droites, elle forme des paires d'angles qui ont des propriétés communes.
Dans certains cas, lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, des paires d'angles bien précises sont isométriques.
Les angles adjacents
Les angles adjacents sont des angles qui ont le même sommet, un côté commun, et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Les angles adjacents sont donc des angles « voisins ». Ils doivent être l’un à côté de l’autre (avoir un côté en commun) et partager le même sommet afin de pouvoir être qualifiés d'adjacents.
Les angles 1 |(\angle BAC)| et 2 |(\angle CAD)| ci-dessous sont des angles adjacents puisqu'ils ont le même sommet |(A)| et qu'ils partagent un côté commun |(\overline{AC})|.
Les angles complémentaires
Les angles complémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
Lorsque la somme des mesures de deux angles a une valeur de 90°, on qualifie ces angles de complémentaires.
||m\angle 1 + m\angle 2 + ... = 90^\circ||
Si on désire trouver l’un des deux angles lorsque l’une des deux mesures est donnée, il suffit de soustraire la valeur de cet angle à 90° afin de trouver la mesure manquante.
Les angles 1 |(\angle BAC)|et 2 |(\angle CAD)|sont complémentaires puisqu'ils forment, ensemble, un angle droit.
Même si les angles ne sont pas adjacents, ils peuvent être complémentaires lorsque la somme de leurs mesures égale 90°.
Les angles supplémentaires
Les angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
Lorsque la somme des mesures de deux angles a une valeur de 180°, on qualifie ces angles de supplémentaires.
||m\angle 1 + m\angle 2 + ... = 180^\circ||
Si on désire trouver l’un des deux angles lorsque l’une des deux mesures est donnée, on n'a qu’à soustraire cet angle de 180°.
Les angles 1 et 2 sont supplémentaires puisqu'ils forment, ensemble, un angle plat.
Même si les angles ne sont pas adjacents, ils peuvent être supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures égale 180°.
Les angles opposés par le sommet
Les angles opposés par le sommet sont des angles isométriques dont le même sommet et les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.
Concrètement, des angles opposés par le sommet sont composés de deux droites qui ressemblent à la lettre X.
Les angles 1 et 3 sont opposés par le sommet tout comme les angles 2 et 4.
Ainsi :
||m\angle 1 = m\angle 3||
||m\angle 2 = m\angle 4||
Les angles correspondants
Les angles correspondants n'ont pas le même sommet mais sont situés du même côté d'une droite sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur de deux droites coupées par cette sécante.
Des angles correspondants sont isométriques si et seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Ainsi, la condition des droites parallèles est essentielle si on veut affirmer que des angles correspondants sont isométriques.
Dans le dessin ci-dessous, les droites horizontales sont parallèles et elles sont coupées par une sécante.
Ainsi :
||\begin{align} m\angle 1 & = m\angle 5 \\
m\angle 3 & = m\angle 7\\
m\angle 2 & = m\angle 6 \\
m\angle 4 & = m\angle 8 \end{align}||
Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles correspondants sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.
Les angles alternes-internes
Les angles alternes-internes
-
n'ont pas le même sommet,
-
sont situés de part et d'autre d'une droite sécante,
-
sont à l'intérieur des droites coupées par cette sécante.
Des angles alternes-internes sont isométriques si et seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Ainsi, il est très important que le parallélisme des droites soit mentionné ou possible à déduire selon les informations fournies dans le contexte.
Dans le dessin ci-dessous, les droites horizontales sont parallèles.
Ainsi :
||\begin{align} m\angle 1 & = m\angle 4 \\
m\angle 2 & = m\angle 3 \end{align}||
Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles alternes-internes sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.
Les angles alternes-externes
Les angles alternes-externes
-
n'ont pas le même sommet,
-
sont situés de part et d'autre d'une droite sécante,
-
sont situés à l'extérieur des droites parallèles coupées par cette sécante.
Des angles alternes-externes sont isométriques si et seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
À l'inverse, si les deux droites qui sont coupées par la sécante ne sont pas parallèles, alors les angles ne sont pas isométriques.
Dans le dessin ci-dessous, les deux droites horizontales sont parallèles.
Ainsi,
||\begin{align} m\angle 1 & = m\angle 3 \\
m\angle 2 & = m\angle 4 \end{align}||
Dans le cas d'une droite coupant deux autres droites, si deux angles alternes-externes sont isométriques, alors ces angles sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.
Trouver des mesures d'angles à l'aide des relations entre les angles
Il est possible d'utiliser les propriétés des angles pour trouver la mesure manquante d'un angle.
Quelles sont les mesures des angles 2, 3, 5 et 8 dans le dessin ci-dessous si on sait que :
- |d_1 \mid \mid d_2|,
- |m\angle 1 = 122^\circ |?
Ainsi,
||\begin{align} m\angle 2 &= 58^\circ \ (\angle 1 \ \text{et} \ \angle 2 \ \text{sont supplémentaires}) \\
m\angle 3 &= 58^\circ (\angle 2 \ \text{et} \ \angle 3 \ \text{sont opposés par le sommet} )\\
m\angle 5 &= 122^\circ (\angle 1 \ \text{et} \angle 5 \ \text{sont correspondants}) \\
m\angle 8 &= 122^\circ (\angle 1 \ \text{et} \ \angle 8 \ \text{sont alternes-externes})\end{align}||