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Un taux est une relation entre 2 quantités de nature différente exprimée sous la forme d’une fraction, notée |a/b| ou |\dfrac{a}{b}.|
Pour arriver à résoudre certains problèmes, il faut traduire une situation à l'aide d'un taux. En voici quelques exemples.
Le prix d’un produit en vrac
À l'épicerie, Caroline a payé |4{,}32\ \$| pour |6| avocats. Le taux qui traduit cette situation est le suivant.||\dfrac{4{,}32\ \$}{6\ \text{avocats}}||
Le salaire
Charlotte gagne |138\ \$| pour une journée de |8\ \text{h}| de travail. Le taux qui traduit cette situation est le suivant.||\dfrac{138\ \$}{8\ \text{h}}||
La vitesse
Pour se rendre à Montréal, Gaston a parcouru |240\ \text{km}| en |3\ \text{heures}.| Le taux qui traduit cette situation est le suivant.||\dfrac{240\ \text{km}}{3\ \text{heures}}||
La masse volumique
À |20\ ^\circ\text{C},| |10| litres d’eau pèsent |9{,}98| kilogrammes. Le taux qui traduit cette situation est le suivant.||\dfrac{9{,}98\ \text{kg}}{10\ \text{L}}||
Lorsqu’on donne un taux, il est important d’écrire les unités. Si on ne les indique pas, on sous-entend qu’elles sont les mêmes et qu’il s’agit plutôt d’un rapport.
Un taux unitaire est un taux dont le dénominateur est |1.|
Pour transformer un taux en un taux unitaire, on doit diviser le numérateur par le dénominateur du taux initial.
À |20\ ^\circ\text{C},| |10| litres d’eau pèsent |9{,}98| kilogrammes. Donne le taux unitaire qui traduit cette situation.
On trouve le taux unitaire en divisant le numérateur par le dénominateur.||9{,}98\ \text{kg}\div10\ \text{L}=0{,}998\ \text{kg}/\text{L}||Ainsi, |0{,}998\ \text{kg}/\text{L}| est le taux unitaire équivalent à |\dfrac{9{,}98\ \text{kg}}{10\ \text{L}}.|
La division n’est pas la seule méthode qui permet de calculer un taux unitaire. En effet, on peut aussi procéder par la méthode de la réduction d’une fraction.
À l'épicerie, Caroline a payé |4{,}32\ \$| pour |6| avocats. Quel était le prix d’un seul avocat?
Afin de trouver le taux unitaire, on doit diviser le numérateur et le dénominateur par |6.|||\dfrac{4{,}32\ \$\color{#3a9a38}{\div6}}{6\ \text{avocats}\color{#3a9a38}{\div6}}=\dfrac{0{,}72\ \$}{1\ \text{avocat}}||Caroline a payé |0{,}72\ \$| pour 1 avocat. Ainsi, |0{,}72\ \$/\text{avocat}| est équivalent à |\dfrac{4{,}32\ \$}{6\ \text{avocats}}.|
Dans la vie courante, certaines quantités peuvent être données sous forme de taux unitaire. Le taux horaire et la vitesse en sont de bons exemples.
Un taux horaire est un taux unitaire qui exprime une quantité d’argent par rapport à une base horaire (de |1| heure).
Charlotte gagne |138\ \$| pour une journée de |8\ \text{h}| de travail. Quel est son taux horaire?
||138\ \$\div{8\ \text{h}}=17{,}25\ \$/\text{h}||Le salaire horaire (salaire pour |1\ \text{h}| de travail) de Charlotte est de |17{,}25\ \$/\text{h}.|
Pour se rendre à Montréal, Gaston a parcouru |240\ \text{km}| en |3\ \text{heures}.| Quelle a été la vitesse moyenne de Gaston?
||240\ \text{km}\div{3\ \text{h}}=80\ \text{km}/\text{h}||La vitesse moyenne de Gaston a été de |80\ \text{km}/\text{h}.|
Les taux équivalents se réfèrent aux fractions équivalentes.
Des taux équivalents sont des taux qui ont les mêmes unités de mesure et qui peuvent être réduits au même taux unitaire.
Lorsque 2 taux sont équivalents, ils forment une proportion.
Xavier gagne |80\ \$| pour |5\ \text{h}| de travail alors que Julie gagne |112\ \$| pour |420\ \text{min}.| Est-ce que leur salaire est équivalent?
On remarque que les unités de temps ne sont pas les mêmes. Il faut donc faire une conversion d’unité. En changeant les minutes en heures, on obtient ceci.||420\ \text{min}\div 60=7\ \text{h}||
Maintenant que les taux ont les mêmes unités, on peut les réduire pour déterminer leur taux unitaire.
Salaire de Xavier||80\ \$\div 5\ \text{h}=16\ \$/\text{h}||
Salaire de Julie||112\ \$\div 7\ \text{h}=16\ \$/\text{h}||
Comme les taux unitaires sont égaux, on en conclut que le salaire de Xavier et celui de Julie sont équivalents.||\dfrac{80\ \$}{5\ \text{h}}=\dfrac{112\ \$}{420\ \text{min}}||
Dans certaines situations, il peut être demandé de comparer 2 ou plusieurs taux.
S'assurer que les taux aient les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin.
Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires.
Comparer les taux unitaires.
Une voiture A consomme |11\ \text{L}| d’essence pour |100\ \text{km},| alors qu’une voiture B utilise |18\ \text{L}| pour |150\ \text{km}.| Laquelle des 2 voitures a une plus petite consommation d’essence?
S'assurer que les taux aient les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin
Pour cet exemple, les taux comparés ont les mêmes unités de mesure.
Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires
Consommation d’essence de la voiture A||\dfrac{11\ \text{L}\color{#3a9a38}{\div100}}{100\ \text{km}\color{#3a9a38}{\div100}}=\dfrac{0{,}11\ \text{L}}{1\ \text{km}}||
Consommation d’essence de la voiture B||\dfrac{18\ \text{L}\color{#3a9a38}{\div150}}{150\ \text{km}\color{#3a9a38}{\div150}}=\dfrac{0{,}12\ \text{L}}{1\ \text{km}}||
Comparer les taux unitaires
Comme |0{,}11\ \text{L}/\text{km}<0{,}12\ \text{L}/\text{km},| c’est la voiture A qui a une plus petite consommation d’essence.
Stéphanie regarde les circulaires des épiceries du coin pour savoir où il serait plus avantageux d'acheter son bœuf haché. L'épicerie Dufour vend son bœuf haché |8{,}50\ \$| pour |2\ \text{kg},| alors que l'épicerie Vrac-à-Vrac l'offre à |12{,}24\ \$| pour |3\ 000\ \text{g}.| Quelle épicerie permettrait à Stéphanie d'en avoir plus pour son argent?
S'assurer que les taux aient les mêmes unités de mesure et effectuer les conversions au besoin
Les poids ne sont pas donnés dans la même unité. On peut transformer les |\textbf{g}| en |\textbf{kg}.|||3\ 000\ \text{g}\div 1\ 000=3\ \text{kg}||
Exprimer les taux sous la forme de taux unitaires
Épicerie Dufour||8{,}50\ \$\div 2\ \text{kg}=4{,}25\ \$/\text{kg}||
Épicerie Vrac-à-Vrac||12{,}24\ \$\div 3\ \text{kg}=4{,}08\ \$/\text{kg}||
Comparer les taux unitaires
On cherche l'épicerie qui vend son bœuf haché le moins cher. Comme |4{,}25\ \$/\text{kg}>4{,}08\ \$/\text{kg},| Stéphanie devrait faire son achat à l'épicerie Vrac-à-Vrac.
Il est possible de résoudre le problème précédent à l’aide des taux équivalents plutôt qu’avec les taux unitaires. Pour comparer les 2 prix, il faut trouver des taux équivalents qui ont le même dénominateur. On peut donc chercher les prix des 2 épiceries pour la même quantité de bœuf haché, soit |6\ \text{kg}.|
Épicerie Dufour||\dfrac{8{,}50\ \$\color{#3a9a38}{\times3}}{2\ \text{kg}\color{#3a9a38}{\times3}}=\dfrac{25{,}50\ \$}{6\ \text{kg}}||
Épicerie Vrac-à-Vrac||\dfrac{12{,}24\ \$\color{#3a9a38}{\times2}}{3\ \text{kg}\color{#3a9a38}{\times2}}=\dfrac{24{,}48\ \$}{6\ \text{kg}}||
Pour la même quantité de bœuf haché, l’épicerie Vrac-à-Vrac offre bel et bien un prix plus avantageux.
Tout comme pour une fraction, si on effectue la même multiplication ou la même division au numérateur et au dénominateur, on obtient un taux équivalent. Par contre, si on ne modifie que le numérateur ou le dénominateur, on affecte directement la valeur du taux, et ce, de l'une des façons suivantes.
Soit un taux |\dfrac{a}{b}.|
Pour augmenter la valeur du taux, on peut :
augmenter la valeur du numérateur |(a);|
diminuer la valeur du dénominateur |(b).|
Pour diminuer la valeur du taux, on peut :
diminuer la valeur du numérateur |(a);|
augmenter la valeur du dénominateur |(b).|
Pierre gagne présentement |525\ \$| pour |35| heures de travail.
Le taux représentant cette situation est |\dfrac{525\ \$}{35\ \text{heures}}.|
a) Donne 2 façons pour l'employeur de Pierre d'augmenter la valeur de son taux horaire.
1re façon : Augmenter le montant d'argent pour le même nombre d’heures de travail.
S'il donne à Pierre |\color{#3a9a38}{70\ \$}| de plus, on obtient ceci.||\begin{align}\dfrac{525\ \$ \color{#3a9a38}{+70\ \$}}{35\ \text{h}}&=\dfrac{595\ \$}{35\ \text{h}}\\\\ \dfrac{595\ \$}{35\ \text{h}}&>\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}}\end{align}||
2e façon : Diminuer le nombre d'heures travaillées tout en conservant le même salaire.
S'il demande à Pierre de travailler |\color{#3a9a38}{5\ \text{h}}| de moins, on obtient ceci.||\begin{align}\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}\color{#3a9a38}{-5\ \text{h}}}&=\dfrac{525\ \$}{30\ \text{h}}\\\\ \dfrac{525\ \$}{30\ \text{h}}&>\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}}\\\\\dfrac{17{,}50\ \$}{1\ \text{h}}&>\dfrac{15\ \$}{1\ \text{h}}\end{align}||
b) Donne 2 façons pour l'employeur de Pierre de diminuer la valeur de son taux horaire.
1re façon : Diminuer le montant d'argent pour le même nombre d’heures de travail.
S'il donne à Pierre |\color{#3a9a38}{35\ \$}| de moins, on obtient ceci.||\begin{align}\dfrac{525\ \$\color{#3a9a38}{-35\ \$}}{35\ \text{h}}&=\dfrac{490\ \$}{35\ \text{h}}\\\\ \dfrac{490\ \$}{35\ \text{h}}&<\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}}\end{align}||
2e façon : Augmenter le nombre d'heures travaillées tout en conservant le même salaire.
S'il demande à Pierre de travailler |\color{#3a9a38}{3\ \text{h}}| de plus, on obtient ceci.||\begin{align}\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}\color{#3a9a38}{+3\ \text{h}}} &= \dfrac{525\ \$}{38\ \text{h}}\\\\ \dfrac{525\ \$}{38\ \text{h}}&<\dfrac{525\ \$}{35\ \text{h}}\\\\\dfrac{13{,}82\ \$}{1\ \text{h}}&<\dfrac{15}{1\ \text{h}}\end{align}||