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Mathématiques

Secondaire 3 • 16 décembre 2021

Bonsoir,
Je voudrais comprendre la logique derrière le rapport entre un exposant fractionnaire et une racine quelconque. En effet, je suis au courante par exemple que 4 à la 1/2 c’est comme dire “Quelle est la racine carrée de 4?” Cependant, je cherche sans cesse à comprendre la logique derrière, car en regardant le tableau suivant :

il m’est clair du raisonnement employé. Notamment, 4 à la -1 est égale à un quart, oui car ça signifie l’inverse de 4 à la 1, mais basé sur les faits, car après 0, tout ce qu’on met en exposant est divisé de 1. Donc 4 à la -1 est égal à 4 à la 0 (1) divisé par 4. Désormais, je voudrais comprendre où on situe les exposant fractionnaire et quelle logique est ici utilisée.
Pardon du dérangement, j’espère que j’ai bien formulé ma question et qu’elle n’est pas aussi mêlée que dans mes pensées.
Merci d’avance.

Explications (2)

Explication d’Alloprof

16 décembre 2021

Bonjour Scorpion Noble!
Si tu souhaites réviser les notions en lien avec les lois des exposants, tu peux aussi consulter le lien suivant qui mène vers une fiche explicative sur le sujet:
Alloprof aide aux devoirs | AlloprofGrâce à ses services d’accompagnement gratuits et stimulants, Alloprof engage les élèves et leurs parents dans la réussite éducative.J'espère que cela t'aidera!

Explication d’élève

16 décembre 2021

Salut,
c'est une excellente question !

Tu connais sans doute la « loi » des exposants \[a^{x} \times a^{y} = a^{x+y}\]N'est-ce pas ? Par exemple,
\[4^{3} \times 4^{5} = 4^{3+5} = 4^{8}\]Si l'exposant est un nombre naturel, c'est très clair : on peut interpréter cela comme une multiplication répétée. \begin{align*}4^{3} \times 4^{5} &= (4\times 4\times 4) \times (4\times 4 \times 4 \times 4 \times 4) \\ \\ &= 4\times 4\times 4 \times 4\times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \\ \\ &=4^{8}\end{align*}
On veut que cette loi des exposants reste valable pour des exposants rationnels (des fractions). Prends par exemple 1/2. Si on applique la loi avec \(4^{\frac{1}{2}}\) et lui-même, on obtient \[4^{\frac{1}{2}} \times 4^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 4^{1} = 4\]Ah ! Donc \(4^{\frac{1}{2}}\) est le nombre qui multiplié par lui-même donne \(4\). Ce nombre est la racine carrée de \(4\) ! Voilà pourquoi on dit que \[4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4}\]
Note qu'on n'est pas obligé de s'en tenir aux 1/2. Considère ceci :
\begin{align*}4^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{3}} &= 4^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \\ \\ &= 4^{1} \\ \\ &= 4\end{align*}
Ainsi, \(4^{\frac{1}{3}}\) est le nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, est égal à \(4\). Ce nombre est \(\sqrt[3]{4}\). \[4^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{4}\]Tu peux refaire le même raisonnement pour \(n\) copies de \(4^{\frac{1}{n}}\) pour trouver \[4^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{4}\] ou, plus généralement, \[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]ou encore plus généralement, \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\]

En espérant le tout plus clair !