Secondary V • 1yr.
Bonsoir! Comme devrions-nous procéder? Merci!
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Explanation from Alloprof
This Explanation was submitted by a member of the Alloprof team.
Bonjour,
Pour montrer que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires avec les vecteurs, il faut prouver que leur produit scalaire est égal à 0. En effet, si leur produit scalaire est nul, cela prouve qu’ils sont perpendiculaires, car deux vecteurs qui se croisent à 90° ont toujours un produit scalaire de 0. Ainsi, nous voulons prouver que AC · BD = 0.
De plus, pour prouver que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, il va falloir s'aider de la définition d'un losange et des propriétés sur les opérations des vecteurs. Par définition, un losange possède 4 côtés isométriques. Ainsi, AB = BC = CD = DA.
Voici un lien utile sur les propriétés sur les opérations des vecteurs :
La manière la plus simple de prouver que AC · BD = 0, est de passé par une différence de carrée et prouver que AC · BD = (AD + AB) · (AD - AB). Si nous arrivons a prouver cela, tout ce simplifie et nous pourrions alors écrire que AC · BD = ||AD||² - ||AB||². Puis, car ||AD|| = ||AB|| on peut alors écrire que AC · BD = ||AB||² - ||AB||² = 0.
Rappel sur la différence de carrée :
Pour obtenir que AC · BD = (AD + AB) · (AD - AB), nous pouvons commencé avec la relation de Chasles. On peut alors écrire que AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD).
Ne trouve-tu pas que AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD) ressemble déjà beaucoup à AC · BD = (AD + AB) · (AD - AB) ?
Maintenant, si on jette un œil sur deux vecteurs qui composent ton losange, on remarque que le vecteur AD est égal le vecteur BC (il est possible d'écrire cela grâce aux propriétés du losange).
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Ainsi,
AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD) = (AB + AD) · (BA + AD)
Nous nous rapprochons du but ! Appliquons la commutativité pour clarifier la ressemblance avec notre formule cible, soit AC · BD = (AD + AB) · (AD - AB) :
AC · BD = (AB + AD) · (BA + AD) = (AD + AB) · (AD + BA)
Plus qu'une étape pour prouver que (AB + AD) · (AD + BA) = (AD + AB) · (AD - AB). L'as-tu deviné ?
Eh oui ! BA = -AB !
Avec tout cela nous avons réussit à prouver que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.
Voici la preuve sans explication et plus ordonnée au besoin:
AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD)
AC · BD = (AB + AD) · (BA + AD)
AC · BD = (AD + AB) · (AD + BA)
AC · BD = (AD + AB) · (AD - AB)
AC · BD = ||AD||² - ||AB||²
AC · BD = ||AB||² - ||AB||²
AC · BD = 0
N'hésite pas à revenir nous voir si tu as des questions !
Bonne journée :)