Secondary V • 8mo.
Je ne comprends pas comment calculer les zéros de la fonction sinusoïdale cosinus quand ce n’est pas sur le cercle trigonométrique.
Je ne comprends pas comment calculer les zéros de la fonction sinusoïdale cosinus quand ce n’est pas sur le cercle trigonométrique.
Explanation from Alloprof
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Salut!
Faisons ensemble le numéro b), et je te laisse tenter le numéro d) avec mes explications, ça te va? :)
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On cherche les zéros, donc la valeur de x lorsque y=0. On veut donc résoudre cette équation :
$$0=-2cos\frac{\pi}{3}(x+1)+\frac{1}{2}$$
Pour isoler notre cosinus, on commence par déplacer la constante \(\frac{1}{2}\) :
$$-\frac{1}{2}=-2cos\frac{\pi}{3}(x+1)$$
Ensuite, on doit éliminer le facteur -2 en divisant chaque côté par celui-ci :
$$-\frac{1}{2} \div -2=\frac{-2cos\frac{\pi}{3}(x+1)}{-2}$$
$$-\frac{1}{2} \times -\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3}(x+1)$$
$$\frac{1}{4} =cos\frac{\pi}{3}(x+1)$$
Maintenant, normalement, on devrait utiliser notre cercle trigonométrique pour trouver les angles pour lesquels le cosinus (la coordonnée en x) est de 1/4.
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Cependant, aucun angle dans le cercle n'a un cosinus de 1/4. Donc, il faut utiliser notre calculatrice!
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Attention, la calculatrice ne nous donne qu'un seul résultat, mais il peut y en avoir plus d'un! Par exemple, il y a deux angles dont le cosinus est de 1/2, soit les angles π/3 et 5π/3.
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Or, en utilisant une calculatrice, on aurait seulement obtenu l'angle de π/3 (≈1,047...)
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Donc, pour obtenir l'autre angle, il faudrait soustraire la réponse de 2π :
$$2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Pourquoi on soustrait de 2π? Parce que 2π radians est un angle complet (360 degrés), donc en soustrayant notre angle \(\frac{\pi}{3}\) (en rouge) de l'angle complet 2π, on obtient notre angle recherché (en bleu) :
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Est-ce qu'on soustrait toujours l'angle obtenu à la calculatrice de 2π pour obtenir le second angle? Non! Ça dépend on se situe dans quel quadrant! ;)
Ainsi, si on revient à notre équation :
$$\frac{1}{4} =cos\frac{\pi}{3}(x+1)$$
On a trouvé à la calculatrice ceci :
$$cos^{-1}(\frac{1}{4}) =\frac{\pi}{3}(x+1)$$
$$1.318116072 =\frac{\pi}{3}(x+1)$$
En d'autres mots, on a un angle dans le premier quadrant, à peu près ici (1,318 est entre 1,0472 et 1,5708) :
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Donc, le second angle avec le même cosinus (la même coordonnée en x) serait ici :
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Ainsi, on conclut qu'il faut soustraire notre angle 1.318116072 de 2π pour avoir le second angle ayant le même cosinus. On a donc ces deux équations à résoudre :
$$1,318 =\frac{\pi}{3}(x+1)$$
et
$$2\pi- 1,318 =\frac{\pi}{3}(x+1)$$
Voilà! Je te laisse terminer le calcul, il ne te reste plus qu'à isoler x dans ces deux équations.
J'espère que c'est plus clair pour toi! :)