Secondary IV • 2mo.
Je n'arrive vraiment pas à comprendre la méthode de factorisation ''Complétion de Carrée'' ainsi que ''Produit-Somme''
J'aimerais avoir une explication claire, s'il vous plaît!
J'ai relu tant de fois le cahier et je suis allée à d'inombrables récupérations mais ça ne rentre pas dans ma tête
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Salut!
Voici les étapes à suivre pour utiliser la technique de la différence de carrés :
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En d'autres mots, tu dois commencer par vérifier si tu as une expression composée de deux termes seulement. Ensuite, tu dois vérifier si on effectue bien une soustraction de ces deux termes, et non une addition. Puis, tu dois réécrire les termes afin de faire apparaitre un exposant 2 sur chaque terme (donc pour avoir des nombres carrés).
Voici un exemple :
$$x^2-25$$
Maintenant, faisons apparaitre notre exposant 2. On voit que le premier terme possède déjà un exposant 2. Donc, on va s'occuper du deuxième terme. Pour avoir cet exposant 2, on va appliquer une racine carrée, comme ceci :
$$x^2-\sqrt{25}^2$$
Ça tombe bien, puisque √25 = 5, on peut simplifier le tout :
$$x^2-5^2$$
On a maintenant la forme a²-b² ! Rendu à cette étape, il ne reste plus qu'à appliquer l'identité remarquable :
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Ce qui nous donne :
$$(x+5)(x-5)$$
Et voilà!
Attention, ça se peut que tu ne puisses pas simplifier la racine carrée, ce n'est pas grave, tu peux quand même continuer tes calculs! Voici un exemple (où j'ai simplement changé le 25 pour un 26) :
$$x^2-26$$
$$x^2-\sqrt{26}^2$$
$$(x-\sqrt{26})(x+\sqrt{26})$$
Ceci est aussi une différence de carrés, même si on voit encore la racine carrée!
Ensuite, voici les étapes à suivre pour effectuer une complétion du carré :
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Faisons un exemple ensemble :
$$3x² + x - 4$$
Étape 1 : On doit éliminer le coefficient du premier terme, celui avec le x². Pour cela, on doit factoriser 3, comme ceci :
$$3(x² + \frac{x}{3} - \frac{4}{3})$$
En d'autres mots, on va travailler avec le trinôme \(x² + \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) dans les prochaines étapes. On peut simplement ignorer le facteur 3, on ne l'enlève pas, mais on n'y touche plus non plus.
Étape 2 : On doit ajouter et soustraire un terme que l'on va ajouter au trinôme dans la parenthèse : (b/2)². Notre paramètre b dans le trinôme \(x² + \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) est \(\frac{1}{3}\). Le terme à additionner et soustraire est donc :
$$(\frac{b}{2})^2 $$
$$= (\frac{\frac{1}{3}}{2})^2 $$
On va simplifier cette grosse fraction :
$$= (\frac{1}{3} \div 2)^2 $$
$$= (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2})^2 $$
$$= (\frac{1}{3\times 2})^2 $$
$$= (\frac{1}{6})^2 $$
$$= \frac{1^2}{6^2} $$
$$= \frac{1}{36} $$
Donc, on doit additionner et soustraire 1/36, et ce, juste avant notre dernier terme (4/3).
$$3(x² + \frac{x}{3} - \frac{4}{3} )$$
$$3(x² + \frac{x}{3} + \frac{1}{36} - \frac{1}{36} - \frac{4}{3} )$$
Étape 3 : On factorise les 3 premiers termes (\(x² + \frac{x}{3} + \frac{1}{36\)) avec la méthode du trinôme carré parfait.
Comme ceci :
$$3( (x+\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36} - \frac{4}{3} )$$
On peut soustraire les deux constantes restantes (\(- \frac{1}{36} - \frac{4}{3} \)) :
$$3( (x+\frac{1}{6})^2 - \frac{49}{36} )$$
Étape 4 : On factorise la différence de carrées créée.
$$3( (x+\frac{1}{6})^2 - \frac{7^2}{6^2} )$$
$$3( (x+\frac{1}{6})^2 - (\frac{7}{6})^2 )$$
$$3( [(x+\frac{1}{6})+(\frac{7}{6})][(x+\frac{1}{6})-(\frac{7}{6})] )$$
Puis on simplifie le tout :
$$3( [x+\frac{1}{6}+\frac{7}{6}][x+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}] )$$
$$3( [x+\frac{8}{6}][x+\frac{-6}{6}] )$$
$$3( [x+\frac{8}{6}][x-1] )$$
$$3(x+\frac{8}{6})(x-1)$$
Voilà! :)
J'espère que cela t'aide! Je te recommande de consulter les fiches mentionnées ci-haut, tu y trouveras plusieurs exemples de factorisation.
Si tu as de la difficulté, ou si tu as des questions par rapport à l'une des étapes présentées ci-dessus, reviens nous voir! :)